Umkehrfunktion mit Definitions- und Wertebereich

Aufrufe: 757     Aktiv: 10.02.2020 um 12:50
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Hallo.

Aufgabenstellung: Wir sollen die Umkehrfunktion bilden und dann den Wertebereich W und Definitionsbereich bestimmen:

\(f:]-1:\infty[ \to W: y=\frac{x-1}{x+1} \)

Der Wertebereich der Funktion müsste bei allen reellen Zahlen außer 1 liegen.Nun stellt sich für mich die Frage wie ich bei dieser Aufgabe (mit Intervallschreibweise) den Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktion bestimme.

 

 

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Student, Punkte: 42

 
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Hallo,

beim Wertebereich liegst du nicht ganz richtig, da du als Definitionsbereich nur \( ]-1 , \infty [ \) gegeben hast. Für \( x \to -1 \) (von oben angenähert) geht die Funktion gegen \( - \infty \) und für \( x \to \infty \) geht die Funktion gegen \( 1 \). Was ist somit der Wertebereich?

Bestimme dafür einfach erstmal die Umkehrfunktion.

$$ \begin{array}{ccccl} & y & = & \frac {x-1} {x+1} & | \cdot (x+1) \\ \Rightarrow & (x+1)y & = & x-1 & |-x \\ \Rightarrow & xy + y - x & = & -1 \\ & & \vdots \end{array} $$

kannst du die Gleichung zu Ende nach \( x \) auflösen?

Wenn du das gemacht hast, tausche wieder \(y \) durch \( x \) und \( x \) durch \( y^{-1} \). 

Danach kannst du entspannt wie bei der ursprünglichen Funktion den Definitions- und Wertebereich bestimmen.

Grüße Christian

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Danke für die Antwort. Der Wertebereich der Funktion müsste somit bei \( ]-\infty : 1[ \) liegen. Wenn ich nun die Gleichung nach x auflöse und dann hiervon den Definitions- und Wertebereich bestimme müsste dieser bei \(D_{f^{-1}}=R\backslash\{1\} \) und \(W_{f^{-1}}=R\backslash\{-1\} \) liegen. Da es sich allerdings um die Umkehrfunktion handelt sollte somit der Definitionsbereich gleich dem Wertebereich der Fkt. ( \(D_{f^{-1}}=W_{f} \) ) und der Wertebereich gleich dem Definitionsbereich der Fkt. sein ( \(W_{f^{-1}}=D_{f} \) ), welche hier ja durch ein Intervall eingeschränkt sind.   ─   shadow 08.02.2020 um 21:47
Genau der Wertebereich stimmt jetzt.
Ja da hast du Recht. Der Definitionsbereich der einen Funktionen ist der Wertebereich der Umkehrfunktion und umgekehrt :)
   ─   christian_strack 10.02.2020 um 11:20

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