Hallo,

ich übe gerade an einer alten Klausur, als ich an der folgenden Aufgabe hängen blieb bei der ich die Konvergenz der folgenden Reihe zeigen soll:

\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{3}+1}\)

Da ich hier nichts alternierendes erkennen kann, schließe ich das Leibnizkriterium aus. Auch das Majorantenkriterium scheint mir hier nicht zielführend zu sein.
Also habe ich mich zu Beginn für das Quotientenkriterium entschieden:

\(\lim_{n \to \infty}\left|\frac{\frac{\sqrt{n+1}}{(n+1)^3+1}}{\frac{\sqrt{n}}{n^3+1}}\right| = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{\sqrt{n+1}\cdot(n^3+1)}{((n+1)^3+1)\cdot \sqrt{n}}\right|\)

Jedoch war ich mir hier unsicher ob das der richtige Weg ist, da mir keine Struktur aufgefallen ist, die ich später rauskürzen könnte. 
Also habe ich mich am Wurzelkriterium versucht:

\(\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left|\frac{\sqrt{n}}{n^3+1}\right|}=\lim_{n \to \infty}\left(\left|\frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^3+1}\right|\right)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{n^{\frac{1}{2n}}}{(n^3+1)^{\frac{1}{n}}}\right| = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{n^{\frac{1}{2n}}}{n^{\frac{3}{n}}+1^{\frac{1}{n}}}\right|\)

Auch dieser Weg scheint mir nicht zielführend zu sein. Sollte ich beim Quotientenkriterium weitermachen? Oder doch das Majorantenkriterium?
Ich würde mich über jeden Tipp, Vorschlag oder Ansatz freuen!

Gruß Kevin