Für b) betrachten wir doch einfach mal die Funktion \(f(x) = sin(ax)\). Wir wissen, dass die Funktion für \(0 \leq ax \leq \pi \) konkav ist, also auch insbesondere für \(0 \leq ax \leq 1\). Bedeutet, wir können die Funktion auf \([0,1]\) durch ihre Sekante abschätzen, sprich \(sin(ax) \geq \frac{sin(a\cdot 1)-sin(0)}{1-0} \cdot x = sin(a)\cdot x, \quad \forall ax \in[0,1]\). Mit \(x = \frac{1}{n} \) folgt, dass: \(sin(\frac{a}{n}) \geq \frac{sin(a)}{n} \). Da für \(n \geq 1\) und \(a \in (0,1)\) gilt, dass \(\frac{a}{n} \in (0,1)\).
Daraus folgt jetzt, dass \( \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \vert (-1)^n sin(\frac{a}{n})\vert = \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} sin(\frac{a}{n}) \geq sin(a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac1 n\).
Wenn noch was unklar ist, kannst du gerne nocheinmal fragen.
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Aber ich finde dies ist für eine Analysis 1 Prüfung etwas zu übertrieben zu fragen oder nicht? ^.^ ─ chrugi 07.02.2020 um 17:21
\( \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\text{sin}(ax)}{x} = a\) argumentieren, dass \(\text{sin}(ax) \) ungefähr so schnell gegen null geht, wie \(ax\), Und dann kann man wieder über die Harmonische Reihe argumentieren, ist aber nicht ganz so sauber (meiner Meinung nach). ─ chrispy 07.02.2020 um 18:47
"normale" Konvergenz reicht... ─ kingkevin23 06.02.2020 um 18:01