Reihenkonvergenz

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Guten Tag ich habe etwas Mühe dabei, bei der Aufgabe a) die Konvergenz zu zeigen und bei Aufgabe b) die absolute Konvergenz zu zeigen, Konvergenz ging eigentlich ohne Probleme mit Leibniz-Kriterium.

Hat jemand einen Ansatz?

 

Liebe Grüsse

Christian

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
c
chrugi,
Student, Punkte: 83
 

Bei b) sollst du ja auch gar nicht die absolute Konvergenz zeigen ^^

"normale" Konvergenz reicht...
  -   kingkevin23, vor 3 Monate, 3 Wochen

Sorry, dass sie nicht absolut konvergiert.
Nein man muss glaube ich noch zeigen dass sie nicht absolut konvergiert...
Oder bin ich da falsch?
  -   chrugi, vor 3 Monate, 3 Wochen

Achso :P. Was genau ist bei a) mit dem \(e\) gemeint? Ist das einfach eine Konstante oder wurde die vorher irgendwie definiert?   -   kingkevin23, vor 3 Monate, 3 Wochen

e ist einfach die eulersche Zahl.   -   chrugi, vor 3 Monate, 3 Wochen

Achso ups. Sah mehr aus wie der Buchstabe, hab mal wieder zu viel reininterpretiert :D
  -   kingkevin23, vor 3 Monate, 3 Wochen

bei b) kannst denke ich folgendermaßen abschätzen: \(sin(\frac{a}{n}) \leq 1/n \). und das ist die harmonische Reihe ;).   -   chrispy, vor 3 Monate, 3 Wochen

Ah ja stimmt...vielen Dank :)
Habe die Ungleichung probiert zu beweisen, leider komme ich nicht auf ein wirklich gutes Ergebnis.
Weisst du wie man da vorgeht?
Müsste ich aber nicht zeigen, dass |sin(a/n)|>= 1/n ist? um dann mit dem Minorantenkriterium zu argumentieren?
  -   chrugi, vor 3 Monate, 3 Wochen

Ja du hast recht, habe Quatsch erzählt, eine ausführlichere Antwort findest du jetzt unten.   -   chrispy, vor 3 Monate, 3 Wochen
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2 Antworten
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Für b) betrachten wir doch einfach mal die Funktion \(f(x) = sin(ax)\). Wir wissen, dass die Funktion für \(0 \leq ax \leq \pi  \) konkav ist, also auch insbesondere für \(0 \leq ax \leq 1\). Bedeutet, wir können die Funktion auf \([0,1]\) durch ihre Sekante abschätzen, sprich \(sin(ax) \geq \frac{sin(a\cdot 1)-sin(0)}{1-0} \cdot x = sin(a)\cdot x,  \quad \forall ax \in[0,1]\). Mit \(x = \frac{1}{n} \) folgt, dass:  \(sin(\frac{a}{n}) \geq \frac{sin(a)}{n} \). Da für \(n \geq 1\) und \(a \in (0,1)\) gilt, dass \(\frac{a}{n} \in (0,1)\). 
Daraus folgt jetzt, dass \( \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \vert (-1)^n sin(\frac{a}{n})\vert =  \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}  sin(\frac{a}{n}) \geq sin(a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac1 n\).
Wenn noch was unklar ist, kannst du gerne nocheinmal fragen.

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
c
chrispy
Student, Punkte: 963
 

Ah ein sehr schöner Ansatz :)   -   christian_strack, verified vor 3 Monate, 3 Wochen

Ah nice! Ein richtig guter Ansatz vielen Dank!
Aber ich finde dies ist für eine Analysis 1 Prüfung etwas zu übertrieben zu fragen oder nicht? ^.^
  -   chrugi, vor 3 Monate, 3 Wochen

Ich weiß nicht wie ausführlich dein Prof das haben möchte aber ich denke man kann auch mit dem Grenzwert von
\( \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\text{sin}(ax)}{x} = a\) argumentieren, dass \(\text{sin}(ax) \) ungefähr so schnell gegen null geht, wie \(ax\), Und dann kann man wieder über die Harmonische Reihe argumentieren, ist aber nicht ganz so sauber (meiner Meinung nach).
  -   chrispy, vor 3 Monate, 3 Wochen
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Hallo,

a) das Quotientenkriterium besagt, das eine Reihe konvergiert, wenn

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right| < 1 $$

ist. Wenn du nun

$$ \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right| $$

berechnest und kürzt, dann erhälst du einen Ausdruck der Form

$$ \left| \frac 1 a \cdot \frac {(n+1)^n} {n^n} \right| = \left| \frac 1 a \cdot \left( \frac {(n+1)} {n} \right)^n \right| = \left| \frac 1 a \cdot \left( 1 + \frac 1 n \right)^n \right| $$

Nun gilt

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1 n \right)^n = e $$

Wenn also \( a \) größer als \( e \) ist, hast du insgesamt eine Zahl kleiner \( 1 \) und die Reihe konvergiert.

Bei der b) fällt mir prinzipiell auch nur die Abschätzung bei kleinen Winkeln ein. Ich denke auch mal noch weiter drüber nach.

Edit: habe noch die Abschätzung

$$ x \leq \frac {\pi} 2 \sin(x) $$

gefunden, für \( x \in [0, \frac {\pi} 2 ] \). Habe es noch nicht durchgerechnet, mache ich gerne morgen, aber vielleicht hilft es ja schon :)

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
christian_strack verified
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