Kombinatorik: Anordnung einer Schlange

Aufrufe: 1849     Aktiv: 10.02.2020 um 11:13
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Eine Gruppe von acht Personen steht vor einem Selbstbedienungsbuffet.  Im Rahmen einerWerbeaktion bekommen drei der acht Personen einen Gutschein, mit dem sie gratis essen dürfen. Die drei Gewinner stehen direkt hintereinander. Wie viele Möglichkeiten für die Zusammensetzung der Warteschlange gibt es?

Würde ich zuerst eine mit dem Binomialkoeffizienten 8 über 3, die Gewinner anstehen lassen und danach mit 5! die restlichen 5 Leute?

Also (8 ncr 3) + 5! = 56 + 120 = 176 ?

Oder verstehe ich da was falsch?

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Student, Punkte: 10

 
Anyone? ;_;

Hab das Gefühl, dass ich was vergessen hab, weil weil die 3 Leute ja auch zwischen den 5 Stehen könnten und nicht nur vorne oder hinten, und damit wäre die Reihenfolge ja anders.

Und das erste macht wahrscheinlich auch keinen Sinn, weil die 3 Leute ja aus den 8 in reihenfolge stehen sollen.

Also wäre es wahrscheinlich eher 8 npr 3 + 5! = 336 + 120 = 456

Aber das erscheint mir immer noch nicht korrekt.   ─   diablo 06.02.2020 um 19:57
Oder rechnet man erst 8 npr 3, um die 3 Gewinner rauszufischen und sie anzuordnen.

Dann bilden diese einen Block, der zu k gerechnet wird, also wird aus k = 5 dann k = 6 ? Und dann ordnet man die 5 Personen + den 3er Block der zusammensteht an.

Also 8 npr 3 + 6! = 336 + 720 = 1056 ?

Das wäre jetzt mein finaler Ansatz. Schade, dass niemand antwortet.   ─   diablo 06.02.2020 um 23:02
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1 Antwort
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Wir betrachten zunächst die Anzahl der Möglichkeiten der Position der Dreiergruppe, wobei \(b\) einen Bezahler bezeichnet und \(g\) einen Gutscheininhaber.

gggbbbbb
bgggbbbb
bbgggbbb
bbbgggbb
bbbbgggb
bbbbbggg

Formal wäre das Gesamtzahl - Gruppengröße + 1 = 8 - 3 + 1 = 6.

Nun gibt es für die Gutscheinleute 3! Möglichkeiten hintereinander zu sein und für den Rest 5!. Damit ist die Zahl der Gesamtreihenfolgen \(6\cdot 3!\cdot 5!\)

 

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Student, Punkte: 350

 
Einleuchtend und wunderbar!

Allerdings eine Folgefrage noch: Es handelt sich ja bei der Dreiergruppe um eine Auswahl der Achtergruppe, wäre da nicht eine Variation notwendig statt der Permutation 3! ?   ─   diablo 09.02.2020 um 14:16
Wir können das auch noch ein wenig anders angehen. Zunächst betrachten wir die Dreiergruppe als ein Element. Damit haben wir die eine Dreiergruppe und 5 b's, also insgesamt 6 Elemente. Die Anzahl der Kombinationen, also der Auswahlmöglichkeiten des einen bestimmten Elements aus dern 6 Elementen ist \(\binom{6}{1} = 6\).   ─   bonuama 10.02.2020 um 11:13

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