Hallo,
es gilt
$$ \Vert \textbf{x} \Vert_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n \vert x_i \vert ^p \right)^\frac 1 p $$
Das bedeutet wir nehmen von jeder Komponenten den Betrag und erheben ihn in die Potenz von \( p \). Dann ziehen wir die \( p\)-te Wurzel der Summe all unserer Potenzen.
Beispielsweise gilt
$$ \Vert \textbf{v} \Vert_3 = \sqrt[3]{ \vert 2+3i \vert^3 + \vert 1+2i \vert^3 } $$
Für den Betrag einer komplexen Zahl gilt
$$ \vert z \vert = \sqrt{z\overline{z}} = \sqrt{(a+bi)(a-bi)} = \sqrt{a^2 + b^2} $$
Also erhalten wir
$$ \Vert \textbf{v} \Vert_3 = \sqrt[3]{ (\sqrt{2^2+3^2})^3 + (\sqrt{1^2 + 2^2})^3 } = \sqrt[3]{ (\sqrt{13})^3 + (\sqrt{5})^3} \approx 3,87 $$
Das kannst du nun übertragen auf alle reellen Zahlen \( 1 \leq p < \infty \)
Für die Maximumsnorm gilt
$$ \Vert \textbf{x} \Vert_{\infty} = \underset{i=1,\ldots,n}{max} \ \vert x_i \vert $$
Wir nehmen also von jeder Komponente den Betrag wie oben und gucken welcher Wert der größte ist, also das Maximum. Dieser ist dann der Wert unserer Maximumsnorm.
Grüße Christian
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