Mit der e-Funktion und der Produktregel:

\(f(x)=x^{x\cdot\sin(x)}=e^{\ln{x^{x\cdot\sin(x)}}}=e^{x\cdot\sin(x)\ln{x}}\)

\(f'(x)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} (x\cdot\sin(x)\cdot\ln{x})e^{x\cdot\sin(x)\ln{x}}\\=h'(x)e^{x\cdot\sin(x)\ln{x}}\\=(\sin(x)\cdot \ln x + x\cdot\cos(x)\cdot\ln x + \sin(x))x^{x\cdot\sin(x)}\)

\(g(x)=x\cdot \sin(x)\)

\(g'(x)=x\cdot \cos(x)+1\cdot \sin(x)\)

\(h(x)=g(x)\cdot \ln(x)\)

\(h'(x)=g(x)\cdot \frac{1}{x}+g'(x)\cdot \ln(x)\\=x\cdot \sin(x)\cdot \frac{1}{x}+(x\cdot \cos(x)+1\cdot \sin(x))\cdot \ln(x)\\=\sin(x)+(x\cdot \cos(x)+ \sin(x))\cdot \ln(x)\\=\sin(x)\cdot \ln x + x\cdot\cos(x)\cdot\ln x + \sin(x)\)