Geometrische Vielfachheit bestimmen

Aufrufe: 2832     Aktiv: 09.02.2020 um 23:23
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Hallo,

Zum Thema Matrix diagonalisieren habe ich folgende Frage:

Voraussetzung für die Diagonalisierbarkeit sind

1. Charakteristisches Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren und

2. geometrische und algebraische Vielfachheit aller Eigenwerte sind einander gleich.

Möchte ich den 2. Punkt überprüfen, scheitere ich ich immer daran, die geometrische Vielfachheit in Erfahrung zu bringen. Ich weiß, woher ich die algebraische Vielfachheit bekomme - für die geometrische Vielfachheit habe ich allerdings nur folgendes gefunden: Die Dimension des Eigenraums entspricht der geometrischen Vielfachheit.

Allerdings weiß ich damit nicht viel anzufangen. Wie berechne ich die Dimension, wenn mein Eigenraum z.B. lautet: E(lambda) = {t*(2; 0; 1) / t Element aller reellen Zahlen}. Und wie lautet die allgemeine Formel?

 

Danke im Voraus!

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Genau, die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die Dimension des dazugehörigen Eigenraums. In deinem Beispiel hast du E(lambda) = {t*(2; 0; 1) }, also ist E(lambda) = span(2; 0; 1), dieser Eigenraum hat also Dimension 1 und ist somit quasi eine Gerade im IR^3. Die geometrische Vielfachheit von lambda ist also 1. Wenn du sowas hättest wie \( E(\lambda ) = \{ a \cdot (x_1; x_2; x_3) + b \cdot (y_1; y_2; y_3) + c \cdot (z_1; z_2; z_3)\} \), dann wäre dein Eigenraum 3 dimensional, du schaust dir also einfach an, wieviele Basisvektoren dieser Eigenraum braucht

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