Hallo,

ich sitze gerade an einer alten Klasur und komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:

Gegeben ist eine rekursive Folge \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbf{N}}\) die wie folgt definiert ist:

\(a_{0}:=0\)
\(a_{1}:=1\)
\(a_{n}:=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}\) für \(n \geq 2\)

nun sollen wir zeigen, dass für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt: \(a_{n}-a_{n-1}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
Ich habe es erst selbst mit vollständiger Induktion versucht, kam dann aber an einem Punkt nicht weiter und habe in die Lösungen geschaut. Dort ist man wie folgt vorgegangen:

Induktionsanfang:
Für \(n=1\) gilt: \(a_{1}-a_{0}=1=(-1 / 2)^{0}\)
Für \(n=2\) gilt: \(a_{2}-a_{1}=1 / 2-1=(-1 / 2)^{2}\)

Induktionsschritt \(n \rightarrow n+1\):
\(\begin{aligned} a_{n+1}-a_{n} &=\frac{a_{n}+a_{n-1}-\left(a_{n-1}+a_{n-2}\right)}{2} \\ &=\frac{(-1 / 2)^{n-1}+(-1 / 2)^{n-2}}{2} \\ &=\frac{(-1)^{n-2}}{2}\left(\frac{-1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n-2}}\right) \\ &=\frac{(-1)^{n}}{2}\left(\frac{-1}{2^{n-1}}+\frac{2}{2^{n-1}}\right) \\ &=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \end{aligned}\)

Das erste Problem was ich mit dieser Lösung habe ist die erste Umformung. Warum ist das gleich?

\(\frac{a_{n}+a_{n-1}-\left(a_{n-1}+a_{n-2}\right)}{2} = \frac{(-1 / 2)^{n-1}+(-1 / 2)^{n-2}}{2}\)

Ich würde mich sehr über Tipps und Hilfestellungen freuen.

Gruß Kevin