Hallo,

Injektivität bezieht sich auf die Eindeutigkeit der Abbildung. Wenn eine Abbildung injektiv ist, dann bedeutet das, dass jeder Funktionswert von nur einem Element der Definitionsmenge angenomen wird. Also

$$ f(x) = f(y) \Rightarrow x = y $$

\( \mathrm{id} \) ist die identische Abbildung. Als Matrix ist dies die Einheitsmatrix. Diese Abbildung bildet jedes Element auf sich selbst ab

$$ \mathrm{id}(x) = x $$

Nun bedeutet, dass wenn unsere Funktion nicht die identische Abbildung ist, es mindestens ein Element geben muss, das durch die Abbildung nicht auf sich selbst abgebildet wird

$$ f \neq \mathrm{id} \Rightarrow \exists v : f(v) \neq v $$

Nennen wir diesen Funktionswert \( w \). Dann gilt

$$ f(w) = f(f(v)) = f \circ f(v) = f(v) $$

Und somit

$$ f(w ) = f(v) $$

Da wir aber gesagt haben, das \( v \) nicht auf sich selbst abgebildet wurde, heißt das

$$ v \neq f(v) = w $$

also

$$ v \neq w $$

und somit ist die Funktion nicht injektiv.

Ein triviales Beispiel wäre 

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Also beispielsweise Projektionen in einen UVR. Wenn wir bereits in diesem UVR sind und wieder darein projezieren, dann ändert sich ja nichts.

Grüße Christian