Spatprodukt und vektorprodukt

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B) berechnen Sie die pyramidenhöhe.

Frage zu Aufgabe A: wie löse ich die Aufgabe am besten? Es gibt ja die Formel für die höhe eines tetraeders dann habe ich mal den Betrag von der höhe, wie komme ich jetzt aber auf die koordinaten. 
kann ich einfach den normalenvektor mit dem vektor rx schneiden und der Schnittpunkt ist dann s? 

Frage zu Aufgabe B: muss ich hier die Formel für die Höhe anwenden? Ich wollte es mit dem normalenvektor versuchen, das geht aber nicht, weil ich den durchstoss punkt der höhe nich kenne und den punkt s ja auch nicht. 

 

gefragt vor 1 Monat, 3 Wochen
s
anonym,
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1 Antwort
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Hallo,

wie du in dem Titel deiner Frage schon richtig anmerkst, benötigst du hier das Spatprodukt. Das Volumen eines allgemeinen Tetraeders berechnet sich über

$$ V = \frac 1 6 \left| ( \vec{a} \times \vec{b} ) \cdot \vec{c} \right| $$

Dabei beschreiben die Vektoren \( \vec{a}, \vec{b} \) und \( \vec{c} \) die 3 Kanten die von einem Punkt ausgehen.

Zwei lassen sich direkt berechnen. Ein Vektor muss zwischen Eckpunkt und gegebener Geraden verlaufen. 

Durch die Gerade erhält unsere Funktion \( V(t) \) auch eine Variable. In Bezug auf diese Variable können wir nun das Minimum bestimmen. 

zur b) Die 3 gegebenen Punkte bilden eine Ebene. Führe eine Abstandsberechnung von Ebene und Punkt durch.

Versuch dich mal. Ich gucke gerne nochmal drüber.

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Monat, 3 Wochen
christian_strack, verified
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Ich verstehe das mit v(t) nicht.
Wieso ist es das minimum?

Ich weiss ja das S auf der geraden liegt rx liegt, kann ich dann nicht die x y z koordinaten in abhängigkeit von t angeben und dann mit dem berechneten normalen vektor (zur grundfläche) den punkt s berechnen ?

  -   anonym, vor 1 Monat, 3 Wochen

Fangen wir erstmal mit den drei Vektoren an, die die Kanten beschreiben.
Wir suchen uns einen der drei Punkte aus. A,B oder C. Dabei ist es egal mit welchem Punkt wir anfangen.
Wenn du das gemacht hast, bestimme den Vektor der die Kanten von diesem Punkt zu den jeweils anderen Punkten beschreibt und einmal die Kante von dem ausgesuchten Punkt zur Spitze.
Dafür überlege dir, wie berechnet man einen Vektor der von einen Punkt auf den anderen zeigt und wie kann man eine Gerade als einen Vektor darstellen?
  -   christian_strack, verified vor 1 Monat, 3 Wochen

Vielen dank für deine Antwort.
Also das habe ich jetzt gemacht habe die vektoren aufgestellt und mich für den punkt A entschieden.
Den vektor von A nach S nenne ich s vektor.
Nun habe ich die höhe ausgerechnet und 4:7 bekommen.
Wie komme ich jetzt auf die koordinaten von S (ich wollte es mit dem normalenvektor auf dem grunddreieck versuchen aber es fehlt ja ein punkt so habe ich nur den richtungsvektor)

Kann ich davon ausgehen dass der s vektor auch den Betrag der höhe hat?
  -   anonym, vor 1 Monat, 3 Wochen

Wie bist du auf die Höhe gekommen?
Wie gesagt wir berechnen erstmal die Kanten. Gehen wir von \( A \) aus. Dann wollen wir die Vektoren
$$ \vec{a} = \overline{AB}, \quad \vec{b} = \overline{AC}, \quad \vec{c} = \overline{AS} $$
bestimmen. Es gilt
$$ \begin{array}{ccccc} \vec{a} & = & \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix} \\ \vec{b} & = & \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{array} $$
Bei der Bestimmung von \( \vec{c} \) fällt mir gerade erst auf das die Gerade keinen Ortsvektor gegeben hat. Ist etwas über \( \vec{r}_A \) bekannt? Ist das der Ortsvektor zum Punkt \( A \)?

Der Punkt \( S \) ergibt sich aus dem Volumen. Ich denke auch nicht das man die Höhe erhält bevor man den Punkt \( S \) hat. Wenn aber nichts über den Ortsvektor bekannt ist, dann muss ich auch nochmal überlegen.
  -   christian_strack, verified vor 1 Monat, 3 Wochen

Die kanten habe ich berechnet.
Habe dieselben wie du.

Ja genau ra ist der ortsvektor zum punkt A
Das würde bedeuten der Richtungsvektor von rx ist dann auch der richtungsveltor von s.

Die Höhe habe ich mit der formel
h=3v/A dreieck
Rausgefunden weil v ist ja 3.33 laut aufgabe.

Also habe ich bis jetzt die höhe, alle kanten was fehlt ist nur noch die S koordinate.

Habe auch versucht t so zu bestimmen dass der betrag des s vektors dem betrag der höhe entsprich.
  -   anonym, vor 1 Monat, 3 Wochen

Diese Formel gilt nur für ein Tetraeder mit gleichen Dreicken als Seiten. Wir haben aber ein unregelmäßiges Tetraeder. Deshalb müssen wir auf die von mir genannte Formel zurückgreifen.

Ja also ein Vielfaches des Richtungsvektor ist der Vektor \( \vec{c} \). Er beschreibt die letzte Kante.
$$ \vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ -t \end{pmatrix} $$
Nun können wir in das Spatprodukt einsetzen und
$$ \frac 16 \left| \left( \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ -t \end{pmatrix} \right| = \frac {10} 3 $$
nach \( t \) auflösen.

Wenn du das erledigt hast, kannst du das \( t \) in die Gerade einsetzen und erhälst deine Spitze.
Danach machst du eine Abstandsberechnung zwischen Punkt und Ebene.
Dabei kannst du die Ebene aus den Punkte \( A,B \) und \( C \)erstellen und die Spitze \( S \) ist der Punkt.
  -   christian_strack, verified vor 1 Monat, 3 Wochen

Vielen dank, dass du dir die Zeit genommen hast.
Ich habe es jetzz verstanden
Die S koordinate müsste (2/-6/8) sein.
Stimmt das?
  -   anonym, vor 1 Monat, 3 Wochen

Sehr gerne :)
Ja das ist schon mal eine Lösung. Aber es gibt zwei Lösungen. Wir erhalten die Gleichung
$$ |t| = 5 $$
Diese Gleichung wird durch \( t = \pm 5 \) gelöst. Wenn wir \( t = -5 \) setzen, erhalten wir deine Lösung. Für \( t=5 \) erhalten wir
$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} $$

Nun müssen wir noch die Höhe berechnen. Klappt das?
  -   christian_strack, verified vor 1 Monat, 3 Wochen
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