Hallo,

in einer Übungsaufgabe soll ich die Konvergenz der folgenden Reihe zeigen:

\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n !)^{2}}{(2 n) !}\)

Hier mein Lösungsweg mit dem Quotientenkriterium:

\(\left|\frac{\frac{((n+1) !)^2}{(2 \cdot(n+1)) !}}{\frac{(n !) ^2}{(2 n )! }}\right|=\left| \frac{((n+1) !)^{2} \cdot(2 n) !}{(2 \cdot(n+1) ) ! \cdot(n !)^{2}} \right| = \left| \frac{((n+1) !)^{2} \cdot(2 n) !}{\left(2(n+1)) \cdot (2 n) ! \cdot(n !)^{2}\right.}\right| = \left|\frac{((n+1)!)^{2}}{(2 \cdot(n+1) ) \cdot(n !)^{2}}\right| = \left|\frac{({n}! \cdot(n+1)^{2}}{(2 \cdot(n+1)) \cdot(n!)^2}\right| = \left|\frac{({n}!)^2 \cdot(n+1)^{2}}{(2 \cdot(n+1)) \cdot(n!)^2}\right| = \left|\frac{(n+1)^{2}}{2 \cdot(n+1)}\right| = \left| \frac{(n+1) \cdot(n+1)}{2 \cdot(n+1)} \right| = \left|\frac{n+1}{2}\right|\) 

Nun gilt:

\(\lim_{n \to \infty} \left|\frac{n+1}{2}\right| > 1\)

Dies würde bedeuten, das die Reihe divergiert, sie muss aber laut Aufgabenstellung konvergieren. Wo liegt mein Fehler?

Danke im Vorraus an alle Helfer!

Gruß Kevin