Potenzen mit n

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Die fragen stehen auf dem Bild.  Wäre nett, wenn ihr mir helfen könnt. Danke

 

gefragt vor 2 Wochen
b
anonym,
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2 Antworten
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Also, dass dein Mathelehrer das nicht weiß - wenn es denn stimmt - ist schwach.

Das ist ganz einfach folgendes Problem. Die Wurzeloperation ist erstmal nur für positive Zahlen unter der Wurzel definiert.

Nun gilt aber `(-x)^(2n+1)=-(x^(2n+1))<0` und `(-x)^(2n)=x^(2n)>0` Dabei ist x jede beliebige positive Zahl. (2n-1) ist die Darstellung für alle ungeraden Zahlen, also 1,3,5,7... und (2n) ist die Darstellung für die geraden Zahlen 2,4,6,8... (Für n werden einfach alle natürlichen Zahlen 1,2,3,4... eingesetzt)

Ein Beispiel, wie in deinem Fall `(-2)^3=(-2)*(-2)*(-2)=-8`

`(-2)^(3/2)=sqrt((-2)^3)=sqrt(-8)` Dies ist erstmal nicht definiert. Weil die Wurzel ja immer eine positive Zahl (oder die Null) zurückgeben soll, die quadriert die zahl unter der Wurzel ergibt. Aber keine positive Zahl kann quadriert eine negative Zahl sein.

Du nimmst den Exponenten jetzt NICHT mit zwei mal, sondern erweiterst mit zwei.

`(-2)^(6/4)=((-2)^6)^(1/4)=(2^6)^(1/4)=(64)^(1/4)=sqrt(8)=2*sqrt(2)~~2.82843...`

Du hast jetzt sozusagen das Minus verschwinden lassen, und somit kann der Taschenrechner eine Rechnung durchführen. Aber du hast nun eben nicht die Wurzel aus `-8` gezogen, sondern die Wurzel aus dem Betrag dieser Zahl - geschrieben `sqrt(abs(-8))`. Der Betrag ist dabei immmer eine nicht-negative Zahl.

Häufig wird daher die Operation `x^(p/q)` für negative Zahlen x verboten - um solche Uneindeutigkeiten auszuschließen.

Die Frage ob man erweitern "darf" kommt dann auf den Sachzusammenhang an - welche Wirklichkeit soll mit einer Gleichung beschreiben werden, sind mache Ergebnisse (z.B. negative Zeiten) unphysikalisch etc.

Nun ist es so, dass man später (vermutlich erst im Studium lernt), dass das noch nicht die ganze Wahrheit ist. Das Stichwort hierfür lautet Komplexe Zahlen.

Du weißt sicher schon, dass gilt `a^2=(-a)^2` also z.B. `3^2=(-3)^2=9`

Man führt dann die imaginäre Zahl `i` mit der Eigenschaft `i^2=-1` ein.

Man erhält dann z.B. `(3i)^2=(-3i)^2=(3^2)*(i^2)=-9`

Will man nun (komplexe) Zahlen x finden die, die Gleichung `x^(n)=z` mit der komplexen Zahl z erfüllen, so wird man immer n Zahlen zur Auswahl haben. Im Falle der Gleichung `x^2=z` also immer zwei.

Wenn du dazu mehr wissen willst, gibt es genug Material im Internet. 

 

geantwortet vor 2 Wochen
vt5, verified
Student, Punkte: 4.61K
 

Danke dir. Respekt!   -   anonym, vor 2 Wochen
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Hallo,

die Potenzgesetze sind im Grunde nur für positive Zahlen definiert. 

Für negative reelle Zahlen funktionieren die Potenzgesetze wenn bestimmte Eigenschaften für die Potenzen gegeben sind, aber nicht für alle. Zum Beispiel für rationale Potenzen mit einem geraden Nenner sind diese nicht definiert.

Grüße Christian

 

geantwortet vor 2 Wochen
christian_strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 20.68K
 

Danke dir   -   anonym, vor 2 Wochen
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