\( y'(x)+4y(x)=sin(x) \)

Ich habe den homogenen Teil gelöst bekommen und vermutlich auch die Störfunktion soweit bearbeitet und abgeleitet, aber ich kriege mein Ergebnis nicht gescheit zu einer Lösung zusammengefasst.

homogen: \( y(x)=Ce^{-4x} \)

partikuläre Lösung: \( y(x)=A_0cos(x)+B_0sin(x) \)

Ableitung: \( y'(x)=-A_0sin(x)+B_0cos(x) \)

Als letzten Schritt habe ich hier nun: \( A_0(-sin(x)+4cos(x))+B_0(cos(x)+4sin(x))=sin(x) \)

Ich muss jetzt auf \( A_0 \) und \( B_0 \) kommen, aber ich weiß nicht wie.

Am Rande: Der Texteditor hier erstellt immer weiter SPAN-Elemente, sodass die nicht-Code Texte ebenfalls anders formatiert sind

Edit:

Ich habe es gelöst bekommen. Ich sollte nicht \( A_0 \) und \( B_0 \) ausklammern, sondern \( sin(x) \) und \( cos(x) \). Dann funktioniert der Koeffizientenvergleich auch wieder. Zur Vollständigkeit ergänze ich meine Lösung:

\( (-A_0+4B_0)sin(x)+(4A_0+B_0)cos(x)=sin(x) \)

Koeffizientenvergleich: \( (-A_0+4B_0)=1 \) und \( (4A_0+B_0)=0 \) wodurch wir \( B_0=\frac {4} {17} \) und \( A_0=-\frac {1} {17} \) erhalten.

Eingesetzt ergibt das ganze dann: \( y(x)=Ce^{-4x}\frac {-cos(x)+4sin(x)} {17} \)