Laplace Transformierte Summe

Aufrufe: 56     Aktiv: vor 1 Woche, 5 Tage

0

Ist die Summe zweier Laplace-transformierbarer Funktionen immer Laplace-transformierbar? Mit Begründung bitte :D

 

gefragt vor 1 Woche, 5 Tage
w
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
0

 

Hallo,

ich würde sagen das überlegen wir uns mal zusammen ;)

Eine Funktion ist Laplace-transformierbar, wenn das Integral

$$ F(s)={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t $$

existiert. 

Wenn nun \( f(t) \) und \( g(t) \) Laplace-transformierbar sind, dann existieren beide Integrale

Nun nehmen wir einmal die Summe

$$ f(t) + g(t) $$

Dann sind diese Laplace-transformierbar, wenn

$$ F(s) + G(s) ={\mathcal {L}}\left\{f+g\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }(f(t)+g(t))e^{-st}\,\mathrm {d} t $$

existiert. Wie können wir nun zeigen, das dieses Integral existieren muss?

Grüße Christian

 

 

geantwortet vor 1 Woche, 5 Tage
christian_strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 20.68K
 

Danke erstmal für die Antwort ;)

Ich tendiere ganz stark dazu, dass die Summe aus zwei Laplace transformierten immer Laplace transformierbar sind. Da es eine Summe ist und daher unabhängig voneinander transformiert werden.

Zu deiner frage: ich würde einfach mal was für f(t) und g(t) und einsetzen und ausprobieren. Wenn Diese integrierbar sind müssten sie auch als Produkt mit exp(-st) integrierbar sein und somit und Laplace transformierbar.
  -   willibeckersulzheim, vor 1 Woche, 5 Tage

ja ist die Summe. Aber die Begründung müssen wir noch etwas allgemeiner fassen.
Als Tipp: Der Beweis folgt aus einer Eigenschaft des Integrals und das wir wissen, das die Integral
$$ F(s)={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t $$
und
$$ G(s)={\mathcal {L}}\left\{g\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }g(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t $$
existieren.
  -   christian_strack, verified vor 1 Woche, 5 Tage

Wäre es möglich für unendlich erstmal eine Variable z.B. t einzusetzen. Das Integral ausrechnen und anschließend den lim ->t gegen unendlich laufen zu lassen.   -   willibeckersulzheim, vor 1 Woche, 5 Tage

brauchst du gar nicht. Wir nutzen einfach die Linearität des Integrals
$$ \begin{array}{ccc} {\mathcal {L}}\left\{f+g\right\}(s) & = & \int _{0}^{\infty }(f(t)+g(t))e^{-st}\,\mathrm {d} t \\ & = & \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st} + g(t) e^{-st} \,\mathrm {d} t \\ & = & \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t + \int _{0}^{\infty }g(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t \\ & = & \mathcal{L}\left\{ f \right\} (s) + \mathcal{L}\left\{ g \right\} (s) \end{array} $$
Da die beiden Funktionen selbst Laplace transformierbar sind, müssen beide Integrale exisiteren und somit auch die Summe.
  -   christian_strack, verified vor 1 Woche, 5 Tage

oke super danke dir. Ich versteh das jetzt wirklich. Nur mathematisch korrekt ausdrücken konnte ich es nicht.

DANKE!
  -   willibeckersulzheim, vor 1 Woche, 5 Tage

Man ist schnell verleitet zu weit zu denken. Hier ist es tatsächlich relativ einfach :)
Sehr gerne.
  -   christian_strack, verified vor 1 Woche, 5 Tage
Kommentar schreiben Diese Antwort melden