Betragsungleichung

Aufrufe: 53     Aktiv: vor 4 Tage, 18 Stunden

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Hallo, ich hänge bei folgender Ungleichung fest:

| (2*x-3) : (3*x-5) | < 2

Kann mir jemand helfen? Ich wäre für Hinweise sehr dankbar.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gefragt vor 1 Woche, 2 Tage
m
mathea,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

da der Betrag über

$$ | x |:= \left\{ \begin{matrix} \ \ x & \text{für} \ x \geq 0 \\ -x & \text{für} \ x < 0 \end{matrix} \right. $$

definiert ist, haben wir für jeden Betrag 2 Fälle die betrachtet werden müssen. Nämlich einmal ob der Inhalt nichtnegativ ist und einmal wenn er negativ ist. 

Da du hier 2 Beträge hast, haben wir insgesamt 4 Fälle die betrachtet werden müssen. Ist dir klar welche das sind?

Wenn du die Fälle aufgestellt hast, dann kannst du wenn der Inhalt nichtnegativ ist, die Betragsstriche einfach weglassen und wenn der Inhalt negativ ist, dann setzen wir ein \( - \) vor die Klammer, damit der Inhalt wieder positiv wird. 

Nun kannst du die Ungleichung wie eine gewöhliche Ungleichung behandeln.

Vielleicht noch als Tipp

$$ \left| \frac {2x-3} {3x-5} \right| = \frac {|2x-3|} {|3x-5|} $$

Außerdem, da ein Betrag immer positiv ist, können wir die Ungleichung direkt etwas vereinfach durch

$$  \frac {|2x-3|} {|3x-5|} \leq 2 \Rightarrow |2x-3| \leq 2|3x-5| $$

Wenn du dann alle Fälle durch gerechnet hast, musst du die Einschränkungen der Fälle mit deinen Ergebnissen abgleichen. Der Schnitt beider Intervalle ist dann deine endgültige Teillösung des Falles. 
Alle Teillösungen von allen Fällen vereinigt ergeben die Lösung deiner Ungleichung.

Versuch dich mal. Ich gucke gerne nochmal drüber

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Woche, 2 Tage
christian_strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 20.62K
 

Lieber Christian,
verspätet aber doch endlich vielen Dank für die sehr hilfreiche und ausführliche Antwort. Klasse erklärt!
  -   mathea, kommentiert vor 4 Tage, 20 Stunden

Sehr gerne. Freut mich zu hören :)   -   christian_strack, verified kommentiert vor 4 Tage, 18 Stunden
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