3.67 Bei der Herstellung eines Produkts fallen Kosten an. Die Kosten hängen von der Zahl der produzierten Mengeneinheiten \(x\) ab. Dieser Zusammenhang wird mit der angegebenen Funktion beschrieben.

a) Für diese Aufgabe ist es nicht wichtig zu wissen, was die Funktion beschreibt, sondern wir können das abstrakt abarbeiten. Die Monotonie ist das Steigunsverhalten. Wir sollen ermitteln, in welchen Bereichen die Funktion zunimmt und in welchen Bereichen sie abnimmt. Hierfür bestimmen wir die Ableitung \(K'\).

\(K'(x) = 3x^2 - 30 x +79\)

Um zu ermitteln, ob die Ableitung den Wert 0 annimmt, setzen wir \(K'(x)\) mit 0 gleich.

\(0 = 3x^2 - 30 x +79\)

Wir schauen uns die Diskriminante an.

\(D=(-30)^2-4\cdot 3\cdot79 =  -48 <0\)

Da die Diskriminante negativ ist, nimmt die Ableitung für keinen x-Wert den Wert 0 an, wechselt also ihr Vorzeichen nicht. Der Graph der ABleitung ist eine nach oben geöffnete Parabel. Ergo nimmt die Ableitung nur positive Werte an. Daraus folgt, dass die Funktion streng monoton zunehmen für alle \(x\in\mathbb{D}\) ist.

b) 

c) Kosten für 12 ME: Wir setzen 12 für \(x\) ein.

\(K(12) = 12^3-15\cdot12^2+79*12+20 = 536\)

Die Einnahmen in Euro für 12 ME betragen \(12\cdot 50= 600\). Der Gewinn ist "Einnahmen minus Kosten": \(600-536 = 64\).