Funktionentheorie - Cauchy'sche Integralformel für Abelitungen

Aufrufe: 712     Aktiv: 27.03.2020 um 19:01
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Guten Morgen!

ich lerne gerade für meine Prüfung in FT und verstehe den Satz bzw den Nutzen des Satzes der zur oben genannten Formel führt nicht.

Sie \gamma ein sückweise stetig diff'barer Weg in C, g: im\gamma -> C, z e C\ im\gamma.
Sei f(z)= \int_\gamma \frac {g(\zeta)} {zeta - z}\ d\zeta
Dann ist f analytisch.

Also wir haben einen Weg, ein z außerhalb des Weges, ich lege einen kreis an den Weg um das z mit Mittelpunk z0 und dann ist f analytisch, also holomorph. Hä? Wofür? Wieso brauch ich irgendeinen Weg? Analytisch bedeutet ja, dass f um jeden Punkt in diesem kreis in eine Potenzreihe entwicklebar ist, sodass der Entwicklungspunkt dann z0 ist. Gehts bei dem weg nur darum dass ich einen kreis da anlegen kann? Ich verstehs nicht. Kann jemand Licht ins Dunkle bringen?

 

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Ich weiß nicht, warum das mit der Formel nicht klappt, tut mir leid. :/   ─   SophyStrobinski 14.02.2020 um 14:08
Hast du die Formeln immer zwischen \ ( und \ ) gesetzt? (Ohne Leerzeichen)
   ─   jordan 14.02.2020 um 17:51
Ich formatier das mal richtig:
Sei \(\gamma\) ein sückweise stetig diff'barer Weg in \(\mathbb{C}\), \( g\colon \operatorname{im}\gamma \to \mathbb{C}, z \in \mathbb{C}\setminus \operatorname{im}\gamma.\)
Sei \(f(z)= \int_\gamma \frac {g(\zeta)} {\zeta - z}\ d\zeta\)
Dann ist f analytisch.   ─   digamma 27.03.2020 um 18:55
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Es geht darum: Wenn ich f ableiten möchte, dann kann ich das tun, indem ich die rechte Seite ableite. Da gibt es aber Sätze, die sagen, dass ich da einfach den Integranden nach z ableiten kann. Nach z, das ist das Wesentliche, nicht nach \(\zeta\). Als Funktion von z ist das aber im Wesentlichen einfach 1/z, und das kann man beliebig oft ableiten. Entsprechendes gilt für die Reihenentwicklung: Man kann f(z) in eine Potenzreihe entwickeln, indem man den Integrand in eine Potenzreihe in z entwickelt.

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