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Also eine Lösung kann ich dir durch geschickte "Raten" angeben - was genau meinst du mit "spezieller" Lösung:
Wir erkennen, dass die Funktion `f(x)=c/(x-v)^a` in ihren Ableitungen folgende Form annimmt:
`f'(x)=(-a*c)/(x-v)^(a+1)`
`f''(x)=(a*(a+1)*c)/(x-v)^(a+2)`
Wir setzen diesen Ansatz in die Funktion ein:
`f''(x)=(a*(a+1)*c)/(x-v)^(a+2)=f(x)^2=(c/(x-v)^a)^2=c^2/(x-v)^(2*a)`
Durch Vergleich sehen wir sofort ein:
`a*(a+1)*c=c^2` --> `2*3*c=c^2` für `cne0` --> `6=c`
`a+2=2*a` --> `2=a`
Wir können als mögliche Lösung also angeben:
`f(x)=6/(x-v)^2` mit `v` beliebig...
Diese Formel hat jetzt nur eine Integrationskonstante (das ist mir auch klar) ist also keine vollständige Lösung. Diese ist aber (so wie ich die Sache auf den ersten Blick - und ohne es versucht zu haben - sehe) nur recht schwierig zu bekommen - es wäre daher gut zu wissen, in welchem Kontext die Frage gestellt wurde bzw. was für Lösungsverfahren du schon kennst (eventuell auch Studiengang und Semester). In manchen ist ja raten bzw. Ansatzmethode erlaubt - in anderen wieder nicht...
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Oder gibt es hier gar keine. In der Regel hat man ja zwei, wegen zweiter Ordnung... ─ vt5 14.02.2020 um 18:21
Studiere auch Physik im ersten Semester, aber mich ärgert das jetzt schon, dass man da nur die absoluten Grundlagen zu DGLs zu lernen scheint (was wohl in den höheren Semestern ähnlich bleibt, wie mir erzählt wurde) und bei jeder kleinen Abweichung gefühlt aufgeschmissen ist - außer man "sieht" den passenden Ansatz. ─ vt5 14.02.2020 um 18:32
Falls dich ODEs/PDEs interessieren, solltest du im höheren Semester einfach nach Vorlesungen danach umschauen. Besonders wenn du in die theoretische Richtung gehst, schadet es nicht.
Man muss aber auch bedenken, dass gerade in der Physik die gleichen ODEs (Harmonischer Oszillator) und PDEs (Wellen- Poisson und Diffusionsgleichung) immer wieder auftauchen und andere kaum vorkommen. Und wenn doch, dann macht man es wie die Ingenieure und schaut in einem Buch nach der Form und der Lösung. Und falls du mal einer begegnest, die nicht drin steht, dann kannst du schon fast davon ausgehen, dass bisher noch niemand auf eine Idee gekommen ist, diese zu lösen. Und ich denke dann reicht es nicht einmal eine Vorlesung dazu besucht zu haben. Einige Mathematiker beschäftigen sich während ihrer gesamten Promotion mit einer einzigen PDE und wie man diese sinnvoll lösen kann ... ─ anonym179aa 14.02.2020 um 18:46
\( y'' = y^2 \)
Mit der ersten Ableitung multiplizieren
\(y''\cdot y' = y^2\cdot y' \)
Kettenregel erkennen und "rückwärts" umformen
\(\frac{d}{dx}\frac{1}{2}(y')^2=\frac{1}{3}\frac{d}{dx}(y^3) \)
Ab hier ist es eine DGL 1. Ordnung
\(\frac{1}{2}y'^2=\frac{1}{3}y^3\)
\( y' =\frac{dy}{dx}=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}y^{\frac{3}{2}}\)
\( y^{-\frac{3}{2}}dy=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}dx \)
\( -2y^{-\frac{1}{2}} = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}x+C \)
\(\frac{1}{\sqrt{y}} = \mp\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}x+C' \)
Nach quadrieren und nach \( y \) umstellen
\( y(x)=\frac{1}{\left( \mp\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}x+C'\right)^2} \)
Wenn ich mich in Wolfram Alpha nicht vertippt habe, sollte diese auch passen. Hat wie man schon sieht auch die gleiche Form wie die Lösung über mir.
─ anonym179aa 14.02.2020 um 18:00