\(T_nf(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\)

Dabei ist \(a\) die Stelle, an der die Funktion entwickelt wird.

An der Stelle \(a=0\) gilt also zum Beispiel:

\(T_nf(x)=f(0)+f'(0)*x+\frac{f''(0)}{2}*x^2+\)...

Du musst also spezifizieren, wo du die Funktion approximieren willst.

Für \(a=0\) kannst du keine der beiden Funktionen durch ein Taylorpolynom annähern, da die Funktionen an dieser Stelle nicht differenzierbar sind.

Daher empfehle ich dir, ein \(a>0\). Oder du approximierst eine leicht veränderte Funktion, zum Beispiel \(\ln(1+x)\). Dann ergibt sich:

\(\ln(1+x)=x-0.5x^2+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\)...

Willst du dann den angenäherten Wert an einer Stelle, z.B. \(x=2\) berechnen gilt:

\(\ln(2)=\ln(1+1)\approx1-0.5*1^2+\frac{1^3}{3}-\frac{1^4}{4}\approx0.6\)

Der tatsächliche Wert ist \(\ln(2)=0.69\). Die Näherung mit einem Polynom vierten Gerades ist hier noch etwas ungenau, da die Stelle \(x=2\) etwas von dem Entwicklungsort \(a=1\) entfernt ist. Die Approximation von \(\sqrt x\) mit \(a>0\) wird komplizierter. Hier eine Lösung: https://math.stackexchange.com/questions/1106344/taylor-series-for-sqrtx