Ohne zu mathematisch zu klingen (die Def. findest du überall),
du hast eine Menge von Vektoren \(M \subset V\) deines Vektorraums \(V\). Die Menge aller Vektoren, die du durch Linearkombinationen von \(M\) darstellen kannst, heißt \(\text{span}(M)\).

Als Bsp. sei \(V=\mathbb{R}^3\) der zugrundeliegende Vektorraum. Geg. seien die vier Vektoren \(M:=\left\{\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}0\\-4\\2\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}\right \} \subset \mathbb{R}^3\).

Nun kannst du diese Vektoren miteinander kombinieren (LK), z.B. \(3\cdot \begin{pmatrix}0\\-4\\2\end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16\\-12\\6\end{pmatrix} =:\varphi \in \text{span}(M)\).

Also ist \(\varphi\) ein Element des Spanns von \(M\). Grundsätzlich addierst du alle Vektoren von \(M\) miteinander, wobei du jeden Vektor noch mit einem Skalar (hier aus \(\mathbb{R}\)) multiplizierst. Die Menge aller Vektoren, die du durch bel. Kombinieren erreichen kannst, ist dann der Spann von \(M\) bzw. der von \(M\) aufgespannte Raum.

Hier ist sogar \(\text{span}(M) =\mathbb{R}^3\), d.h. du kannst jeden Punkt im \(\mathbb{R}^3\) erreichen.