Zuerst kannst du mit den Logarithmengesetzen deinen Ausdruck umschreiben. Die Regeln die verwendet werden, sind:

1. \(\ln(x^k)=k*\ln(x)\) und 2. \(\ln(\frac{a}{b})=\ln(a)-\ln(b)\)

\(f(x)=\ln(\sqrt{\frac{1+e^x}{1-e^x}})=\frac{1}{2}*\ln(\frac{1+e^x}{1-e^x})=\frac{1}{2}*(\ln(1+e^x)-\ln(1-e^x))\)

Jetzt kannst du ableiten, indem du jeden Summanden einzeln ableitest:

\(f'(x)=\frac{1}{2}*(\ln(1+e^x)'-\ln(1-e^x)')\)

Dazu verwendest du die Kettenregel:

\(f'(x)=\frac{1}{2}*((1+e^x)'*\frac{1}{1+e^x}-(1-e^x)'*\frac{1}{1-e^x})=\frac{1}{2}*(e^x*\frac{1}{1+e^x}+e^x*\frac{1}{1-e^x})\)

Hier kannst du \(e^x\) ausklammern

\(f'(x)=\frac{e^x}{2}*(\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1-e^x})\)

Den Therm in der Klammer fasst du zusammen, indem du die Brüche auf einen Nenner bringst. Dazu erweiterst du jeden Summanden mit dem jeweils anderen Nenner:

\(f'(x)=\frac{e^x}{2}*(\frac{1-e^x}{(1+e^x)(1-e^x)}+\frac{1+e^x}{(1+e^x)(1-e^x)})\)

Im Zähler gilt: \(1-e^x+1+e^x=2\)

Den Nenner kannst du ausrechnen, indem du ausmultiplizierst:

\((1+e^x)(1-e^x)=1-e^x+e^x-e^{x}*e^x=1-e^{2x}\)

Daraus folgt:

\(f'(x)=\frac{e^x}{2}*\frac{2}{1-e^{2x}}=\frac{e^x}{1-e^{2x}}\)