Es gibt pro Periode nur eine Stelle, an der die Gleichung erfüllt wird, und zwar bei \(225°\) bzw. \(\frac{5\pi}{4}\), denn es gilt:

\(\sin(\frac{5\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)       und      \(\cos(\frac{5\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

und somit

\(\sin(\frac{5\pi}{4})+\cos{(\frac{5\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}\)

Da die Winkelfunktionen jedoch \(2\pi\)-periodisch sind, tritt diese Stelle alle \(2\pi\) wieder auf. Das heißt, jedes mal wenn du zu \(\frac{5\pi}{4}\) \(2\pi\) addierst oder subtrahierst wird die Gleichung wieder erfüllt. Damit lautet die Lösung:

\(\frac{5\pi}{4}+k*2\pi\)     mit     \(k\in\Bbb{Z}\)

Das einfachste ist, du benutzt folgendes Additionstheorem:

\( sin(x) + cos(x) = \sqrt(2) sin(x+0,25 \pi) \)

Das liefert also

\( sin(x) + cos(x) = \sqrt(2) sin(x+0,25 \pi) = - \sqrt(2) \)

und somit

\( sin(x+0,25 \pi) = -1 \)

Daraus folgt nach Anwendung von \( sin^{-1} \):

\( x+0,25\pi = 1,5\pi+k*2\pi \)

und somit

\( x= 1,25\pi+k*2\pi \)

Es geht zwar auch mit dem Additionstheorem \( sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \), und der Substitution \( cos(x)=u \) womit man insgesamt die Gleichung

\( u-\sqrt(1-u^2)=-\sqrt(2) \)

erhält, aber dieser Weg, der zweimaliges Quadrieren der Gleichung erfordert und dann das bestimmen der 2. Basislösung von \( sin(x) = -1/\sqrt(2) \) ist deutlich komplizierter ...