(Twitter)
0
Hallo,
hier: https://www.mathefragen.de/frage/13567/lage-beziehung-bei-koordinatenform-und-parameterform/ habe ich dir beschrieben, wie du bei einer Koordinatenform und Parameterform vorgehst.
Wenn du zwei Parameterformen hast, dann setzt du beide Gleichungen gleich. Daraus resultiert für jede Komponente eine Gleichung. Dieses unterbestimmte LGS kannst du lösen. Es können wieder die 3 Fälle wie in der andere Frage auftauchen.
Wenn du wieder am Ende eine Gleichung mit zwei Unbekannten hast, stellst du wieder nach einer um und setzt diese in die entsprechende Ebene ein. Pass nur auf, das die beiden übrig gebliebenen Unbekannten zur selben Ebene gehören.
Versuch dich auch mal hier. Wenn Probleme auftauchen melde dich nochmal.
Grüße Christian
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Hmm ich hätte es so verstanden, dass du dir immer 2 Ebenenn nimmst und die Lage zueinander bestimmst. Also musst du insgesamt 3 Rechnungen durchführen.
Dann weißt du ja schon ob welche parallel, identisch sind oder sich schneiden. Es ist ja nicht nach dem expliziten Schnittgebilde gefragt. ─ christian_strack 17.02.2020 um 20:35
Dann weißt du ja schon ob welche parallel, identisch sind oder sich schneiden. Es ist ja nicht nach dem expliziten Schnittgebilde gefragt. ─ christian_strack 17.02.2020 um 20:35
hättest du lust für mich das einmal auszurechnen und mir auch den Lösungsweg zu schicken? Würde mir mega weiterhelfen, da das eine Prüfung ist. :)
─
julewarnke
17.02.2020 um 22:24
Ich mache dir mal von 2 Ansätze vor:
Zwei Ebenen können sich entweder schneiden, parallel verlaufen oder identisch sein. Windschief funktioniert hier nicht, da die Ebenen unendlich lang sind und sich so irgendwann treffen müssen, außer sie verlaufen parallel.
Da wir wie bei Geraden nicht so schnell sehen können, ob diese parallel verlaufen prüfen wir sofort auf eine Schnittmenge. Aus dieser können wir direkt beurteilen, wie die Ebenen zueinander liegen.
Wir wollen nun die Lage von \( E \) und \( F \) zueinander wissen. Wir nehmen dafür also an, das diese beiden sich schneiden. Das bedeutet, das beide Geraden Punkte bestitzen, die auch auf der anderen Ebene liegen. Deshalb setzen wir die Ebene in Parameterform in die Ebene in Koordinatenform ein.
$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3r+s \\ 1 + r + s \\ 8 + 4r -4s \end{pmatrix} $$
Nun können wir die Ebene so einsetzen, als würden wir einen Punkt einsetzen.
Also wir setzen in
$$ 2x + 2y + z = 6 $$
ein und erhalten
$$ 2(1-3r+s) + 2(1+r+s) + (8+4r -4s) = 6 $$
Diese Gleichung kannst du nun nach \( r \) oder \( s \) auflösen. Dabei können die von mir bereits angesprochenen 3 Fälle auftretten. Wenn du die Gleichung nach \( r \) oder \(s \) umstellen konntest, setze sie in die Ebene in Paramterform ein und du erhälst so eine Gerade, Das ist dann deine Schnittgerade.
Versuch dich Aufgabe mal zu Ende zu rechnen. Ich gucke gerne nochmal drüber.
Bei zwei Parameterformen setzen wir die Ebenen einfach gleich, da wir wieder davon ausgehen, das diese beiden einen gemeinsamen Punkt haben.
$$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} + r_1 \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} +s_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} + r_2 \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s_2 \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} $$
Nun kannst du aus jeder Komoponente eine Gleichung basteln. Beispielsweise wäre eine
$$ 1 -3r_1 + s_1 = 2 -3r_2 -s_2 $$
Wenn du alle Gleichungen hast, hast du 4 Unbekannte und 3 Gleichungen. Deshalb löst du das LGS soweit, bis du eine Gleichung mit zwei Unbekannten hast. Ab da gehst du so vor wie im ersten Teil.
Versuch dich auch mal hier. ─ christian_strack 18.02.2020 um 10:30
Zwei Ebenen können sich entweder schneiden, parallel verlaufen oder identisch sein. Windschief funktioniert hier nicht, da die Ebenen unendlich lang sind und sich so irgendwann treffen müssen, außer sie verlaufen parallel.
Da wir wie bei Geraden nicht so schnell sehen können, ob diese parallel verlaufen prüfen wir sofort auf eine Schnittmenge. Aus dieser können wir direkt beurteilen, wie die Ebenen zueinander liegen.
Wir wollen nun die Lage von \( E \) und \( F \) zueinander wissen. Wir nehmen dafür also an, das diese beiden sich schneiden. Das bedeutet, das beide Geraden Punkte bestitzen, die auch auf der anderen Ebene liegen. Deshalb setzen wir die Ebene in Parameterform in die Ebene in Koordinatenform ein.
$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3r+s \\ 1 + r + s \\ 8 + 4r -4s \end{pmatrix} $$
Nun können wir die Ebene so einsetzen, als würden wir einen Punkt einsetzen.
Also wir setzen in
$$ 2x + 2y + z = 6 $$
ein und erhalten
$$ 2(1-3r+s) + 2(1+r+s) + (8+4r -4s) = 6 $$
Diese Gleichung kannst du nun nach \( r \) oder \( s \) auflösen. Dabei können die von mir bereits angesprochenen 3 Fälle auftretten. Wenn du die Gleichung nach \( r \) oder \(s \) umstellen konntest, setze sie in die Ebene in Paramterform ein und du erhälst so eine Gerade, Das ist dann deine Schnittgerade.
Versuch dich Aufgabe mal zu Ende zu rechnen. Ich gucke gerne nochmal drüber.
Bei zwei Parameterformen setzen wir die Ebenen einfach gleich, da wir wieder davon ausgehen, das diese beiden einen gemeinsamen Punkt haben.
$$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} + r_1 \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} +s_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} + r_2 \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s_2 \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} $$
Nun kannst du aus jeder Komoponente eine Gleichung basteln. Beispielsweise wäre eine
$$ 1 -3r_1 + s_1 = 2 -3r_2 -s_2 $$
Wenn du alle Gleichungen hast, hast du 4 Unbekannte und 3 Gleichungen. Deshalb löst du das LGS soweit, bis du eine Gleichung mit zwei Unbekannten hast. Ab da gehst du so vor wie im ersten Teil.
Versuch dich auch mal hier. ─ christian_strack 18.02.2020 um 10:30
ahh danke. ich glaube wenn ich mich nicht irre müssten es, wenn man 1/4 x römisch 3 rechnet und die mit römisch 1 addiert ist das Ergebnis bei V: ... nicht -5/2 sondern 3/2, da wir wenn wir die 3. mal 1/4 nehmen haben wir 1/2 raus und das plus römisch 1, wo wir 1 als zahl haben erhalten wir 3/4.
Keine Kritik nur für mein Verständnis! oder übersehe ich etwas?
─ julewarnke 18.02.2020 um 12:02
Keine Kritik nur für mein Verständnis! oder übersehe ich etwas?
─ julewarnke 18.02.2020 um 12:02
Nein das meine ich ja dass das passiert.
Wir erhalten als Gleichungssystem
$$ \begin{array}{lccc} I: & 1 - 3r_1 + s_1 & = & 2 - 3r_2 -s_2 \\ II: & 1 + r_1 + s_1 & = & 4 + 2r_2 - 2s_2 \\ III: & 8 + 4r_1 - 4s_1 & = & -6 + 2r_2 + 6s_2 \end{array} $$
Wenn wir nun alle Unbekannten auf eine Seite der Gleichung bringen, rechnen wir \( II - I \) und \( \frac 14 III + I \).
Daraus erhalten wir die Gleichungen
$$ \begin{array}{lccc} IV: & 4r_1 -5r_2 +s_2 & = & 2 \\ V: & -2r_1 + \frac 5 2 r_2 - \frac 1 2 s_2 & = & - \frac 52 \end{array} $$
Wenn wir nun \( IV + 2 V \) rechnen, erhalten wir
$$ 0 = -3 $$
Dies ist eine Unwahrheit. Das bedeutet, dass unsere Annahme das die beiden Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben nicht stimmt. Somit verlaufen die beiden Ebenen parallel zueinander.
Du hättest an dieser Stelle auch ein Ergebnis haben können wie
$$ 0 = 0 $$
Dann hättest du eine Wahrheit, also stimmt die Annahme und dazu hast du eine allgemeingültige Aussage. Das bedeutet alle Punkte liegen auf beiden Ebenen. Somit sind die Ebenen identisch.
Die dritte Möglichkeit wäre eine Lösung wie
$$ r_1 = as_1 + b $$
mit \( a \) und \( b \) irgendwelchen Zahlen.
Dann könntest du dieses \( r_1 \) in die eine Ebene einsetzen und hättest eine Gleichung die nur noch von einem Parameter abhängt, nämlich \( s_1 \).
Wir haben also eine Geradengleichung. Diese Geradengleichung ist die Schnittgerade in der sich die beiden Ebenen schneiden. ─ christian_strack 18.02.2020 um 13:20
Wir erhalten als Gleichungssystem
$$ \begin{array}{lccc} I: & 1 - 3r_1 + s_1 & = & 2 - 3r_2 -s_2 \\ II: & 1 + r_1 + s_1 & = & 4 + 2r_2 - 2s_2 \\ III: & 8 + 4r_1 - 4s_1 & = & -6 + 2r_2 + 6s_2 \end{array} $$
Wenn wir nun alle Unbekannten auf eine Seite der Gleichung bringen, rechnen wir \( II - I \) und \( \frac 14 III + I \).
Daraus erhalten wir die Gleichungen
$$ \begin{array}{lccc} IV: & 4r_1 -5r_2 +s_2 & = & 2 \\ V: & -2r_1 + \frac 5 2 r_2 - \frac 1 2 s_2 & = & - \frac 52 \end{array} $$
Wenn wir nun \( IV + 2 V \) rechnen, erhalten wir
$$ 0 = -3 $$
Dies ist eine Unwahrheit. Das bedeutet, dass unsere Annahme das die beiden Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben nicht stimmt. Somit verlaufen die beiden Ebenen parallel zueinander.
Du hättest an dieser Stelle auch ein Ergebnis haben können wie
$$ 0 = 0 $$
Dann hättest du eine Wahrheit, also stimmt die Annahme und dazu hast du eine allgemeingültige Aussage. Das bedeutet alle Punkte liegen auf beiden Ebenen. Somit sind die Ebenen identisch.
Die dritte Möglichkeit wäre eine Lösung wie
$$ r_1 = as_1 + b $$
mit \( a \) und \( b \) irgendwelchen Zahlen.
Dann könntest du dieses \( r_1 \) in die eine Ebene einsetzen und hättest eine Gleichung die nur noch von einem Parameter abhängt, nämlich \( s_1 \).
Wir haben also eine Geradengleichung. Diese Geradengleichung ist die Schnittgerade in der sich die beiden Ebenen schneiden. ─ christian_strack 18.02.2020 um 13:20
aber vielen dank ich habe bei den beiden Ebenen jetzt 0=5 raus und es ist ja trotzdem parallel. :)
─
julewarnke
18.02.2020 um 16:15
Es gilt
$$ 8 + 4r_1 - 4s_1 = -6 +2r_2 +6s_2 \Rightarrow 4r_1 -4s_1 - 2r_2 - 6s_2 = -6-8 = -14 $$
Außerdem gilt
$$ \frac {-14} 4 +1 = -3,5 + 1 = -2,5 = - \frac 5 2 $$
Du hast vermutlich beim sortieren der Gleichung \( + 8 \) gerechnet.
Sehr gerne :) klappen denn jetzt die anderen Lagebeziehungen? ─ christian_strack 18.02.2020 um 17:49
$$ 8 + 4r_1 - 4s_1 = -6 +2r_2 +6s_2 \Rightarrow 4r_1 -4s_1 - 2r_2 - 6s_2 = -6-8 = -14 $$
Außerdem gilt
$$ \frac {-14} 4 +1 = -3,5 + 1 = -2,5 = - \frac 5 2 $$
Du hast vermutlich beim sortieren der Gleichung \( + 8 \) gerechnet.
Sehr gerne :) klappen denn jetzt die anderen Lagebeziehungen? ─ christian_strack 18.02.2020 um 17:49
ja danke da hab ich wohl ein Vorzeichen übersehen. und zu den anderen Lagebeziehungen: alles super hat gut geklappt eine ist identisch zu einer und insgesamt zwei parallel
─
julewarnke
18.02.2020 um 22:15
Wunderbar, das ist richtig. Freut mich zu hören :)
─
christian_strack
19.02.2020 um 11:24
─ julewarnke 17.02.2020 um 20:23