Hallo,

elementare Zeilenumformung erhalten den Rang einer Matrix. Außerdem wenn die Matrix als Koeffizientenmatrix eines LGS interpretiert wird, dann änderen elementare Zeilenumformung nicht die Lösung des LGS.

Die Abbildung bleibt dafür nicht erhalten. Nehmen wir dafür die Abbildung 

$$ f: (x,y) \to (x+y,y) $$

Diese wird durch die Matrix 

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

beschrieben. Durch elementare Zeilenumformungen, können wir aus dieser Matrix die Einheitsmatrix machen

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y  \end{pmatrix} $$

Allerdings beschreibt die Einheitsmatrix die Identitätsabbildung

$$ f : (x,y) \to (x,y) $$

Die Determinante bleibt ebenfalls nicht erhalten. 

Schon durch tauschen der Zeilen der Einheitsmatrix, erhalten wir eine andere Determinante

$$ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot  1 - 0 \cdot 0 = 1 $$

und

$$  \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 0  -1 \cdot 1  = -1 $$

Mit Ähnlichkeit meinst du, das zwei Matrizen  \( A,B \) ähnlich sind, wenn es eine reguläre Matrix \( S \) gibt, mit

$$ B = S^{-1} A S $$

exisitiert?

Matrizen die durch elementare Zeilenumformungen umgeformt werden sind im allgemeinen auch nicht zueinander ähnlich. 

Grüße Christian