Du wählst zuerst einen Substituenden \(u\), durch den der Integrand einfacher wird. Beispiel:

\(\int x\cos(x^2+1)dx\)

Hier bietet sich \(u=x^2+1\) an.

Dann bildest du das Differential

\(\frac{du}{dx}=u'=2x\)

also die Ableitung von \(u\)

Diesen Ausdruck stellst du nach \(dx\) um.

\(dx=\frac{1}{2x}du\)

Nun kannst du \(u\) in den Integranden einsetzten. Dabei muss auch \(dx\) durch den obigen Audruck ersetzt werden.

\(\int x\cos(x^2+1)dx=\int x\cos(u)*\frac{1}{2x}du\)

Da jetzt nach \(u\) integriert wird, kannst du \(x\) kürzen. Außerdem ziehe ich den Faktor \(0.5\) direkt vor das Integral.

\(\int x\cos(u)\frac{1}{2x}du=\frac{1}{2}\int \cos(u)du\)

Das Integral ist nun bekannt und einfach zu lösen. Die STammfunktion von \(\cos(x)\) ist \(\sin(x)\).

\(\int x\cos(u)\frac{1}{2x}du=\frac{1}{2}\int \cos(u)du=\frac{1}{2}*\sin(u)+C\)

Im letzten Schritt wird wieder rücksubstituiert:

\(\int x\cos(x^2+1)dx=\frac{1}{2}*\sin(u)+C=\frac{1}{2}*\sin(x^2+1)+C\)