Zuerst kannst du \(a\) ausklammern:
\(z^3=a(-1+j)\)
Zum Wurzelziehen bietet sich die Darstellung Exponentialform an.
\(-1+j=\sqrt{2}e^{j\frac{3\pi}{4}}\)
Außerdem musst du noch die Mehrdeutigkeit komplexer Zahlen beachten:
\(-1+j=\sqrt{2}e^{j(\frac{3\pi}{4}+2\pi*k)}\) mit \(k\in\Bbb{Z}\)
Es gilt also:
\(z^3=a*\sqrt{2}e^{j(\frac{3\pi}{4}+2\pi*k)}\)
Jetzt kannst du die Wurzel ziehen:
\(z=\sqrt[3]{a\sqrt{2}}*e^{j(\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}*k)}\)
Beim Ziehen der \(n\)-ten Wurzel gibt es \(n\) Lösungen, diese ergeben sich für \(k=0,1,...,n-1\)
Mit \(n=3\) also \(k=0,1,2\)
Du musst also für \(k\) die drei Werte einsetzen.
\(z_0=\sqrt[3]{a\sqrt{2}}*e^{j\frac{\pi}{4}}\)
\(z_1=\sqrt[3]{a\sqrt{2}}*e^{j\frac{11\pi}{12}}\)
\(z_2=\sqrt[3]{a\sqrt{2}}*e^{j\frac{19\pi}{12}}\)
Die Lösungen kannst du noch weiter vereinfachen oder in die Normalform zurückwandeln.
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