Hallo,

der Vektor oder eher die Gerade

$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} $$

ist das Bild deiner Abbildung, also

$$ \operatorname{Im}(f) = \vec{v} $$

Nun geht diese Gerade nicht durch den Nullpunkt. Das bedeutet wir haben eine affine Abbildung. 

Wir suchen also erstmal die Matrix, die auf den Richtungsvektor der Geraden abbildet

$$ \operatorname{Im}(g) = \left< \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right> $$

Die Abbildung \( f \) ergibt sich dann aus

$$ f(\vec{x})= M_g \cdot \vec{x} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Mit \( M = M_g \) der Matrix zur Abbildung \( g \) (diese die nur auf ein Vielfaches des Richtungsvektor abbildet) 

Nehmen wir uns die Standardbasis des \( \mathbb{R}^n \)

$$ \mathbb{R}^n = \left< \underset{\vec{e}_1}{\underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}}, \underset{\vec{e}_2}{\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}} , \underset{\vec{e}_3}{\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}} \right> $$

Wenn wir nun die Matrix mit einem der Einheitsvektor multiplizieren, erhalten wir

$$ M \cdot \vec{e}_i = \vec{m}_i $$

wobei \( \vec{m}_i \) der i-te Spaltenvektor der Matrix ist. Wenn dir das nicht ganz klar ist, dann nimm dir mal eine Matrix und multipliziere diese mit den Einheitsvektoren.

Nun können wir jeden Vektor als Linearkombination der Basisvektoren darstellen. 

$$ \vec{x} = \sum\limits_{i=1}^3 a_i \cdot \vec{e}_i $$

Da jede Matrix eine lineare Abbildung ist, gilt

$$ M \cdot \vec{x} = M \cdot \sum\limits_{i=1}^3 a_i \vec{e}_i = \sum\limits_{i=1}^3 a_i M \vec{e}_i = \sum\limits_{i=1}^3 a_i \vec{m_i} $$

Das bedeutet, das durch 

$$ \sum\limits_{i=1}^3 a_i \vec{m_i} $$

alle Vektoren des Bildraums können also durch die Linearkombination der Spaltenvektoren dargestellt werden.

Was bringt uns das nun? 

Die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix sind ein Erzeugendensystem des Bildraums

$$ \operatorname{Im}(g) = \left< \vec{m}_1 , \vec{m}_2 , \vec{m}_3 \right> $$

Nun überlege dir was nochmal genau das Bild von \( g \) ist und überlege dir ein Erzeugendensystem des Bildes. Dann setze das Erzeugendensystem als Spalten der Matrix und du hast die Matrix \( M_g \) und somit dann deine affine Abbildung.

Versuch mal die Aufgabe zu Ende zu bringen. Falls noch etwas unklar ist, melde dich gerne wieder.

Grüße Christian