Aufgabe:
Gegeben ist das in \(L^2(0,\pi)\) vollständige Orthonormalsystem \(l_0(x)=\sqrt{\frac{1}{\pi}}, l_k(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \cos(kx), k\in\mathbb{N}, x \in [0,\pi]\).
Bestimmen Sie mit dem Fourier-Ansatz \(u(t,x)=\sum_{k=0}^\infty a_k(t)\cdot l_k(x)\) eine formale Lösung der Wärmeleitungsgleichung:
\(\frac{\partial}{\partial t} u(t,x) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} u(t,x)\), \(\frac{\partial}{\partial x} u(t,0) = \frac{\partial}{\partial x} u(t,\pi)\), \(u(0,x) = f(x) = x-\frac \pi 2\)
\(\forall t>0\) \(\forall x \in (0,\pi)\)
Mein Lösungsansatz:
\(\frac{\partial}{\partial t} u(t,x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{\partial}{\partial t} a_k(t)\cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \cos(kx) = \sum_{k=0}^\infty a_k(t)\cdot (-k^2)\sqrt{\frac 2\pi}\cos(kx) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} u(t,x) \)
Daraus folgt mit Koeffizientenvergleich: \(\frac{\partial}{\partial t} a_k(t) = -k^2\cdot a_k(t)\)
Wählt man nun als Anfangswert \(a_k(0)=c_k\) folgt mit dem Exponentialansatz, dass \(a_k(t)=c_k\cdot e^{-k^2t}\). \( \Rightarrow u(0,x) = \sum_{k=0}^\infty c_k\cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \cos(kx) = x-\frac \pi 2\).
Prüft man nun aber \(\frac{\partial}{\partial x} u(t,0) = \frac{\partial}{\partial x} u(t,\pi) \Leftrightarrow u(t,0) = u(t,\pi)\) ergibt sich ein Widerspruch, denn \(u(t,0) = \sum_{k=0}^\infty a_k(t)\cdot\sqrt{\frac 2\pi} \not = \sum_{k=0}^\infty a_k(t)\cdot \sqrt{\frac 2\pi} (-1)^k\), denn das gilt ja nur für alle \(k\) gerade.
Weiß jemand an dieser Stelle weiter, oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Manchmal sieht man einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Aber freut mich das es so geklappt hat. Umso besser! :) ─ christian_strack 24.02.2020 um 13:38