y‘‘ = 7y‘ - 12y    (mit y(0)=1 und y‘(0)=0)

<=> y'' -7y' + 12y = 0

Es ist eine homogene lineare DGL zweiter Ordnung.

Der Ansatz ist  \( y(x) = e^{\lambda x} \)

=> \( \lambda ^2 - 7 \lambda  + 12 = 0  \)

<=> \( \lambda = 3  \lor   \lambda = 4\)

Die beiden Lösungen können beliebig gemischt werden, das führt zur allgemeinen Lösung

\( y = A\cdot e^{3x} + B \cdot e^{4x} \)

A und B werden so gewählt, dass die Anfangsbedingungen passen:

\( y' = 3A \cdot e^{3x} + 4B \cdot e^{4x} \)

y(0) = 1 => A + B = 1

y'(0) = 0 => 3A + 4B = 0

Lösung des LGS liefert A = 4, B = -3

Lösung der Aufgabe:

\( y(x) = 4 e^{3x} - 3 e^{4x} \)