Eine Polynomfunktion dritten gerades ist von der Form

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=k(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\)

Dabei sind \(x_1,x_2,x_3\) die Nullstellen der Funktion. Du erhählst:

\(f(x)=k(x-(-2))(x-(-2))(x-1)=k(x+2)(x+2)(x-1)=k(x+2)^2(x-1)\)

Jetzt musst du \(k\) bestimmen. Dazu bestimmst du zuerst, an welcher Stelle es einen Wendepunkt gibt:

Die Notwendige Bedingung lautet

\(f''(x_W)=0\)

Du bildest die zweite Ableitung:

\(f'(x)=k(3x^2+6x)\)

\(f''(x)=k(6x+6)=6k(x+1)\)

Diese setzt du gleich null:

\(f''(x)=0\)

\(0=6k(x+1)\)

Dieser Ausdruck wird null für \(k=0\) oder \(x=-1\)

\(k=0\) ist als Lösung nich von Bedeutung, dann wäre nämlich unsere Funktion \(f(x)=0\)

Das heißt, die Wendestelle ist bei \(x=-1\)

Mit der letzten Bedingung (der y-Wert der Wendestelle ist \(6\)) berechnest du nun \(k\):

Es muss an der Wendestelle gelten:

\(f(-1)=6\)

\(k(-1+2)^2(-1-1)=6\)

\(k(-1^2)*(-2)=-2k=6\)

\(\Rightarrow~~k=-3\)

Die Funktion lautet also:

\(f(x)=-3(x+2)^2(x-1)\)