Beweis für cosh(2x)

Aufrufe: 805     Aktiv: 21.02.2020 um 15:31
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Wie beweist man, dass cosh(2x)=2cosh(x)^2-1 gilt?

Ich habe bereits probiert, es umzuschrieben in cosh(x)^2+cosh(x)^2-1 und dann zu ersetzen mit der zugehörigen e-fkt., aber dabei kam mir nach dem umformen (4e^2x+3)/4 raus und ab da weiß ich nicht mehr weiter 

Würde mich über Hilfestellung sehr freuen

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Student, Punkte: 126

 
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Hallo chemriker, 

ausgehend von \( cosh(2x)\) würde ich zuerst das Additionstheorem 

\( cosh(2x)=cosh^{2}(x)+sinh^{2}(x) \)

verwenden. Von dort könntest du anschließend noch den Ausdruck

\( cosh^{2}(x) - sinh^{2}(x) = 1 \)

einsetzen. Damit sollte es kein Problem mehr sein auf den Ausdruck der rechten Seite zu gelangen.

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Student, Punkte: 90

 
Bei mir kommt dann cosh^2(x) = 2*coshx^2-sinh^2-1 raus... sind cosh^2x und coshx^2 überhaupt dasselbe..?
   ─   thalgaugang1 21.02.2020 um 14:35
Jap, \( cosh^{2}(x) \) ist einfach nur eine Kurzschreibweise für \(( cosh(x))^{2} \). Genauso ist \( cosh(x) = cosh~x \). Ist das Argument des \( cosh \) nur \( x \), lässt man aufgrund des geringeren Schreibaufwandes oft die Klammern weg.

Nachfolgend mein Rechenweg:
Ausgehend von \( cosh(2x) \) komme ich auf
\( cosh(2x) = cosh^{2}(x) + sinh^{2}(x) \)
und mit
\( cosh^{2}(x) - sinh^{2}(x) = 1 \)
umgestellt auf
\( sinh^{2}(x) = cosh^{2}(x) - 1 \)
und eingesetzt auf
\( cosh(2x) = cosh^{2}(x) + cosh^{2}(x) - 1 \)
\( cosh(2x) = 2 \cdot cosh^{2}(x) - 1 \).
Dies entspricht genau dem gesuchten Zusammenhang.   ─   carl friedrich haus 21.02.2020 um 15:10
Danke!
   ─   thalgaugang1 21.02.2020 um 15:15
Kein Problem :)
Bei solcher Art von Aufgaben ist die Formelsammlung dein bester Freund. Meistens findet man gleich für den Anfangsausdruck ein Additionstheorem oder einen Zusammenhang aus der Formelsammlung zu \( sinh \), \( cosh \), \( tanh \), etc. und muss dann nur noch die "störenden" Terme (hier der \( sinh \) da wir am Ende auf der rechten Seite ja nur noch \( cosh \) stehen haben wollen) ersetzen. Mit ein bisschen Übung bekommt man dafür auch schnell einen Blick.   ─   carl friedrich haus 21.02.2020 um 15:31

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