Richtungsableitung

Aufrufe: 991     Aktiv: 21.02.2020 um 23:33
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Guten Abend,

ich soll die Folgende Aufgabe berechnen. Ich habe den Gradienten \(\nabla f(x,y)\) bereits berechnet und auch den Gradienten am Punkt P, sprich \(\nabla f(1,2) = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \). 

Jetzt soll ich die Richtungsableitung berechnen, in Richtung \( \overrightarrow {PQ} \).

Der Prof. kommt auf die Richtung \( v = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \). Wie kommt er auf genau diesen Vektor? Simple Frage aber das zerbricht mir schon die ganze Zeit den Kopf.

Für die Richtungsableitung \(D_v f(1,2)\) setzt man ja den Gradienten als erstes Argument und die Richtung durch dessen Länge als Bruch hin. Wie kommt er auf die Lösung \( = 1 \)?

Vielen Dank :)

 

 

 

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Die Richtung entspricht dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\).

Normiert lautet dieser \(\vec{v}:=\begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix}\). 

Somit ist \(\dfrac{\partial f}{\partial \vec{v}}(1,2) = \vec{v} \,\circ \, \left(J_f(1,2)\right)^T= \begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix} \circ \left(-1,2\right)^T = -1\cdot \dfrac{3}{5} + 2\cdot \dfrac{4}{5}=1\).

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