Hallo,

leider ist weder Stochastik mein Steckenpferd, noch habe ich große Ahnung von unärer Kodierung aber ich will es gerne mal versuchen. Vielleicht knacken wir es ja zusammen :)

Wir haben \(5\) verschiedene Noten die erreicht werden können. Nämlich \(1,2,3,4\) und \( 5 \). Eine bestimmte Anzahl von Schülern erreicht eine dieser Noten. Jeder eine, aber auch nur eine. Nennen wir \( n_i \) die Anzahl der Schüler die die Note \( i \) erhalten haben. Da wir \( 100 \) Schüler haben, muss gelten

$$ n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 = 100 $$

Nun soll außerdem die Note \( 4 \) von mindestens \( 30 \) Schülern erreicht werden, also

$$ n_4 \geq 30 $$

Das sind unsere beiden Einschränkungen. 

Indem wir nun sagen

$$ n_4 = 30 + k_4 $$

können wir die zweite Einschränkungen in die erste einsetzen und erhalten

$$ \begin{array}{ccc} n_1 + n_2  + n_3 + k_4 + 30 + n_5 & = & 100 \\ n_1 + n_2 + n_3 + k_4 + n_5 & = & 70 \end{array} $$

Nun kommt der Teil mit der unären Kodierung. Das kann ich dir nicht zu 100% erklären. Ich weiß nur das unär bedeutet das du eine Zahl durch Einsen darstellst. Ähnlich wie wenn du auf einem Bierdeckel anschreibst ;), nur das am Ende noche eine Null (als Abschluss) steht also beispielsweise

$$ 3 = 1110 $$

oder 

$$ 7 = 11111110 $$

Ich denke damit sollst du dir die Anzahl der Striche als Auswahl aus einer Grundgesamtheit vorstellen. 

Nun haben wir \( 70 \) Einsen die verteilt werden. Dazu kann es aber auch sein, das eine Note gar nicht erreicht wurde. Deshalb gibt es auch die Möglichkeit, das eine Note gar keine Eins erhält. Dann steht dort nur eine Null. Damit kommen wir auf

$$ 70+5 $$

Möglichkeiten. Nun kann es aber nicht sein, das alle Noten Null mal angenommen werden. Darum ziehen wir noch einen Fall ab

$$ 70+5-1 $$

Das ist unsere Grundgesamtheit. Nun wollen wir wissen wie oft wir diese Grundgesamtheit auf 5 "Gruppen" aufteilen können, ohne Wiederholung. Das berechnen wir mit dem Binomialkoeffizienten über

$$ \binom{70+5-1}{5} = \binom{74}{5} $$

Nun steht bei dir 

$$ \binom{74}{4} $$

ich muss ehrlich zugeben, warum \( k=4 \) anstatt \( k=5 \) gilt kann ich dir nicht wirklich beantworten. Vielleicht kann hier noch jemand nachhelfen oder du fragst deinen Übungsleiter.

Ich hoffe ich konnte trotzdem etwas Licht ins dunkle bringen.

Grüße Christian

Ich hatte den Begriff unäre Kodierung in diesem Zusammenhang zwar auch noch nie gehört, aber ich kenne die Formel und kann sie hoffentlich erklären:

Angenommen, du hast 74 Punte in einer Reihe. Wenn du 4 davon auswählst, hast du die restlichen 70 Punkte in 5 Kategorien (links von dem ersten ausgewählten Punkt, zwischen dem ersten und dem zweiten Punkt, ..., rechts vom vierten ausgewählten Punkt) eingeteilt, wobei es sein kann, dass einige Kategorien keinen Punkt enthalten. Die Kategorien entsprechen also den möglichen Noten. Es sind 74 Punkte, weil es 70 Noten zu vergeben gibt und sie 5-1 mal geteilt werden müssen. Also gibt es \(\binom{74}4\) Möglichkeiten, die Noten zu verteilen.

Ich gebe zu, dieses Prinzip ist sehr unintuitiv, aber wenn man es kennt, sehr hilfreich. Ich hoffe, meine Erklärung ergibt Sinn. Wenn man es nicht versteht, gerne nochmal nachfragen :) Das ist gar nicht so einfach zu erklären ohne Grafiken.