Deine ersten Schritte sind absolut richtig und auch die Lösung \(x_1=0\) ist korrekt.
Dann bist du bei deinem Ergebnis:
\(tx^2-12tx-kx^2+12kx=-32t+32k\)
Ich würde dann anders sortieren, sodass du ausklammer kannst:
\(tx^2-kx^2-12tx+12kx=32(k-t)\)
\((t-k)x^2+12x(k-t)-32(k-t)=0\)
Jetzt teilst du durch \((t-k)\), sodass du die \(pq\)-Formel anwenden kannst:
\(x^2+12x\frac{k-t}{t-k}-32\frac{k-t}{t-k}=0\)
\(\frac{k-t}{t-k}=-1\)
Damit erhälst du:
\(x^2-12x+32=0\)
Jetzt mit der \(pq\)-Formel lösen:
\(x_{2/3}=-\frac{-12}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-12}{2}\right)^2-32}=6\pm\sqrt{36-32}=6\pm\sqrt{4}=6\pm2\)
Uns somit:
\(x_1=0~~~~~~x_2=4~~~~~~~~x_3=8\)
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