Zu Aufgabe 3)
a)
Die Wahrscheinlichkeit für eine Getränkemarke beträgt \(p=1/5=0.2\)
Die Anzahl \(n\) der Versuche ist \(n=3\).
Es handelt sich um ein Zufallsexperiment, bei dem es als Ausgang "Erfolg" oder "Misserfolg" gibt.
Gesucht ist dieWahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Erfolge eintreten, also dass er entweder zwei- oder dreimal eine Getränkemarke zieht.
Gesucht ist also
\(P(X\geq2)=P(X=2)+P(X=3)\)
Es gibst mehrere Möglichkeiten das zu lösen.
Du kannst es über die Bernoulli Formel ausrechnen. Nach dieser gilt:
\(P(X=k)=\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)*p^k*(1-p)^{n-k}\)
Dabei ist
\(\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Du berechnest also:
\(P(X\geq2)=P(X=2)+P(X=3)=\left(\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right)*0.2^2*(1-0.2)^{3-2}+\left(\begin{array}{c}3\\3\end{array}\right)*0.2^3*(1-0.2)^{3-3}=10.4\%\)
Zugegeben, das wäre der komplizierte Weg. Einfacher wäre der Weg über ein Baumdiagramm. Trotzdem bekommst du hiermit auch die richtige Lösung.
Für das Baumdiagramm zeichnest du dir einfach die drei Versuche mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten ein. Dann addierst du alle Pfade, entlang denen mindestens zwei mal eine Getränkemarke gezogen wird.
Ich habe dir die passenden Pfade markiert.
Du errechnets also:
\(p=(\frac{1}{5})^3+3*(\frac{1}{5})^2*\frac{4}{5}=\frac{13}{125}\)
Jetzt in Prozent umrechnen:
\(\frac{13}{125}*100\%=\frac{1300}{125}\%=\frac{260*5}{25*5}\%=\frac{260}{25}\%=\frac{260}{\frac{100}{4}}\%=\frac{4*260}{100}\%=\frac{1040}{100}\%=10.4\%\)
b)
Hier ist der Erwartungswert \(E(X)\) gesucht. Hier werden die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen eines Gewinnes/Verlustes multipliziert mit dem jeweiligen Gewinn/Verlust addiert.
Wir berechnen den Kaufpreis von 1000 Glückskeksen \(0.25€*1000=250€\)
Den Preis für ein Getränke nennen wir \(a\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Getränk gezogen wird, ist \(p=\frac{1}{5}\)
Jetzt werden alle Gewinne positiv und alle Verluste negativ verrechnet. Du erhälst:
\(E(X)=250€-30€-\frac{1}{5}a*1000\)
Damit wir keinen Verlust machen, muss gelten: \(E(X)=0\)
\(250€-30€-\frac{1}{5}a*1000=0\)
\(220€=\frac{1}{5}a*1000\)
\(220€=200a\)
\(\frac{220€}{200}=1.10€=a\)
Ein Getränk darf den Besitzer also maximal \(1.10€\) kosten, damit er keinen Verlust macht.