Du hast bereits richtig erkannt, dass du nur die Hälfte der Fläche berehchnen musst, damit brauchst du auch nur einen (ich nehmen den positiven/rechten) Schnittpunkt.
Zuerst bestimmst du diesen:
\(f(x)=g(x)\)
\(x^2=-x^2+k\)
\(2x^2=k\)
\(x=\pm\sqrt{\frac{k}{2}}\)
Ich nehme nur \(x=\sqrt{\frac{k}{2}}\)
Gesucht ist:
\(A=2*\int\limits_0^{\sqrt{k/2}}(g(x)-f(x))dx=1\)
Du bildest die Stammfunktionen:
\(F(x)=\frac{1}{3}x^3\)
\(G(x)=-\frac{1}{3}x^3+kx\)
Jetzt kannst du einsetzen:
\(A=2*(G(\sqrt{k/2})-G(0)-(F(\sqrt{k/2}-F(0))))\)
Du erkennst dabei:
\(G(0)=F(0)=0\)
Somit:
\(2*(G(\sqrt{k/2})-F(\sqrt{k/2}))=1\)
\(G(\sqrt{k/2})-F(\sqrt{k/2})=\frac{1}{2}\)
Jetzt setzt du in die Stammfunktionen ein:
\(-\frac{1}{3}(\sqrt{k/2})^3+k\sqrt{k/2}-\frac{1}{3}(\sqrt{k/2})^3=0.5\)
Du kannst zusammenfassen:
\(-\frac{2}{3}\sqrt{k/2}^3+k\sqrt{k/2}=0.5\)
Du kannst ausklammern:
\(\sqrt{k/2}(-\frac{2}{3}\sqrt{k/2}^2+k)=0.5\)
Dies vereinfacht sich zu:
\(\sqrt{k/2}(\frac{-k}{3}+k)=0.5\)
\(\sqrt{k/2}\frac{2k}{3}=0.5\)
\(\frac{2}{3}k\sqrt{k/2}=0.5\)
\(k\sqrt{k/2}=\frac{3}{4}\)
Jetzt quadrieren wir beide Seiten sodass weiter aufgellöst werden kann:
\(k^2*\frac{k}{2}=\frac{9}{16}\)
\(\frac{k^3}{2}=\frac{9}{16}\)
\(k^3=\frac{18}{16}\)
\(k=\sqrt[3]{\frac{18}{16}}=\sqrt[3]{\frac{9}{8}}=\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\approx1.04\)
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