Wichtig ist, dass du die Logarithmengesetze kennst:

https://www.gut-erklaert.de/mathematik/logarithmusgesetzte-logarithmus-regeln.html

Induktionsannahme trivial, für `n=2` prüfen...

`n->n+1`

`sum_(k=1)^(n)k*log((k+1)/k)=sum_(k=1)^(n-1)k*log((k+1)/k)+n*log((n+1)/n)`

Nach Induktionsvoraussetzung: `=n*log(n)-log(n!)+n*log((n+1)/n)`

`=n*log(n)-log(n!)+n*(log(n+1)-log(n))=n*log(n)-n*log(n)-log(n!)+n*log(n+1)`

`=n*log(n+1)-log(n!)`

Zeige Gleichheit mit:

`(n+1)*log(n+1)-log((n+1)!)=(n+1)*log(n+1)-log((n+1)*n!)`

`=(n+1)*log(n+1)-(log(n+1)+log(n!))=n*log(n+1)-log(n!)+log(n+1)-log(n+1)`

`=n*log(n+1)-log(n!)`

Formal kommt es natürlich drauf an, wie genau ihr das machen müsst.