Mit der Summe der beiden Wurzeln zu erweitern, ist sehr oft eine gute Idee. Wir bekommen

\(a_n=n\cdot\frac{3n-2}{\sqrt{1+2n+n^4}+\sqrt{3-n+n^4}}=\frac{3n^2-2n}{\sqrt{1+2n+n^4}+\sqrt{3-n+n^4}}.\)

Jetzt gilt \(\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^4+p(n)}}{n^2}=1,\) wobei \(p\) ein beliebiges Polynom mit Grad kleiner gleich drei ist. (Je nach dem, wie genau deine Lösung sein soll, müsstest du das noch beweisen). Da \(a_n\) sicher beschränkt ist (warum?), können wir die Wurzeln für den Grenzwert gefahrlos durch \(n^2\) ersetzen und erhalten

\(\lim_{n\to\infty}a_n=lim_{n\to\infty}\frac{3n^2-2n}{2n^2}=\frac32\).