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Sei \(A : X \rightarrow Y \) ein linearer Operator, wobei \(X,Y\) endlichdim. Banachräume. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
i) \(A\) ist Lipschitz-stetig
ii) \(\sup\{\Vert A(v)\Vert_Y \vert v\in X, \Vert v\Vert_X = 1\}\) ist beschränkt.
Warum?
Angenommen \(A\) ist Lipschitz. Dann existiert ein \(C\), sodass für alle \(x,y \in X\) gilt, dass:
\(\quad\quad\quad\Vert A(x)-A(y) \Vert_Y \leq C \Vert x - y\Vert_X\)
\(\iff \frac{\Vert A(x)-A(y)\Vert_Y}{\Vert x-y\Vert_X} \leq C\) mit \(x \neq y\).
\(\iff \frac{\Vert A(x-y)\Vert_Y}{\Vert x-y\Vert_X} \leq C \iff \Big\Vert A \Big(\frac{x-y}{\Vert x-y \Vert_X}\Big)\Big\Vert_Y \leq C\).
Mit \(v := x-y \) folgt dann die Behauptung.
Jetzt müsstest du noch zeigen, dass der Ausdruck bei ii) beschränkt ist. Ich denke das kannst du mithilfe deiner \(1a)\) machen, wobei du Satz 1.4.6 ausnutzt.
Wenn dabei noch Fragen aufkommen kannst du dich gerne nochmal melden
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Den Rest schaue ich mir nochmals an, vielen Dank!
Nur noch eine kleine Frage zu ìi) .... ist beschränkt. Ich sehe nicht genau wie ich hier den Hinweis nutzen soll. Muss ich noch etwas zusätzliches beachten? ─ wizzlah 03.03.2020 um 13:38
Da wir endlichdimensionale Banachräume betrachten können wir den Operator auch als endliche Linearkombination von Basisvektoren schreiben.
Sei dafür \( (e_1,\dots,e_n)\) eine Basis von \(X\)
Dann können wir schreiben:
\(A(x) = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i A(e_i)\)
Jetzt betrachten wir das unter der Norm von \(Y\) und wenden die Dreiecksungleichung an.
\(\Vert A(x) \Vert_Y = \Big \Vert \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i A(e_i) \Big \Vert_Y \leq \displaystyle \sum_{i=1}^n \vert x_i\vert \Vert A(e_i) \Vert_Y\)
Mit \( M:= \sup\limits_{i \in \{1,\dots ,n\}}\{\Vert A(e_i)\Vert_Y \} \) können wir das folgendermaßen abschätzen:
\(\Vert A(x) \Vert_Y \leq M \displaystyle \sum_{i=1}^n \vert x_i\vert = M \Vert x \Vert_1\) Da die Normen alle äquivalent sind können wir das jetzt erneut abschätzen:
\(M \Vert x \Vert_1 \leq MC \Vert x \Vert_X = MC \quad \forall x \in X \quad\text{mit}\quad \Vert x \Vert_X = 1\).
Damit folgt, dass der Ausdruck ii) beschränkt ist und daraus folgt nun wieder die L-Stetigkeit.
─ chrispy 03.03.2020 um 14:50
Eine Frage:
Kann man meine Teilaufgabe a so stehen lassen oder könnte dies anders gedacht sein zu berechnen? ─ wizzlah 03.03.2020 um 12:55