Mengengleichheit

Erste Frage Aufrufe: 588     Aktiv: 04.03.2020 um 17:35
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Es geht um die Modulorechnung, man soll beweisen, dass wenn es ein gleiches Element aus den Mengen (Restklassen) a und b gibt, die Mengen eigentlich gleich sind. Anhand eines Beispiels sowas zu beweisen ist nicht schwer, aber hier geht es um einen allgemeinen Beweis. Wie könnte man sowas "formal" beweisen?

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Wir machen es so, wie es im Hinweis steht. Sei also \(c\in[a]\cap[b]\). Da es um Mengengleichheit geht, müssen wir zwei Inklusionen zeigen. Wir zeigen zunächst \([a]\subseteq[b]\), sei dazu \(a'\in[a].\) Dann gilt wegen der Transitivität des Modulooperators (Äquivalenzrelation) \(a'\equiv a\equiv c\equiv b\), also \(a'\in[b]\). Da \(a'\) beliebig war, folgt \([a]\subseteq[b]\). Die umgekehrte Inklusion geht komplett genauso.

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