Du hast dein Problem schon selbst erkannt. \(f^{-1}\) ist i.A. nicht die Umkehrfunktion, sondern die Menge der Urbilder. Folglich ist \(e_G\neq f^{-1}(f(h))=\ker(f).\) Deshalb funktioniert dein Beweis so leider nicht.

Allerdings ist der richtige Beweis gar nicht so schwer: Wir möchten zeigen, dass \(ghg^{-1}\in ker(f)\), also dass \(f(ghg^{-1})=e_{G'}.\) Weil \(f\) linear ist, ist \(f(ghg^{-1})=f(g)f(h)f(g^{-1}).\) Nun ist nach Voraussetzung \(f(h)=e_{G'}\), außerdem ist wegen der Homomorphie \(f(g^{-1})=f(g)^{-1}\). Folglich ist \(f(ghg^{-1})=f(g)f(h)f(g^{-1})=f(g)e_{G'}f(g)^{-1}=f(g)f(g)^{-1}=e_{G'}\), was zu zeigen war,