Hier auf Abschätzungen zu kommen ist sehr schwierig. (Zumindest fällt mir auch nichts Sinnvolles ein.) Stattdessen zeigen wir, dass \(-\frac{2}{\sqrt n}+\frac1{(n+1)\sqrt{n+1}}\leq-\frac2{\sqrt{n+1}}\). Das können wir dann einfach an deinen vorletzten Schritt anhängen und sind fertig (In deinem letzten Schritt hat sich übrigens ein Fehler eingeschlichen: Das Vorzeichen vor dem \(\sqrt n\) sollte ein Minus sein).

Um diese Ungleichung zu zeigen, bedienen wir uns Äquivalenzumformungen. Zuerst multiplizieren wir mit dem Hauptnenner \(\sqrt n(n+1)^{\frac32}\) (sicher ungleich 0, da \(n\in\mathbb N\)) und erhalten

\(-2(n+1)\sqrt{n+1}+\sqrt n\leq -2\sqrt n(n+1) \quad\Longleftrightarrow\quad (2n+3)\sqrt n\leq (2n+2)\sqrt{n+1}\).

Da jetzt beide Seiten sicher positiv sind, können wir ohne Ambiguität quadrieren. Dadurch fallen alle Wurzeln weg. Wenn man dann noch alles ausmultipliziert, sieht man, dass die Ungleichung tatsächlich stimmt.

Dieses Verfahren, nachdem man die Induktionsvoraussetzung angewandt hat, einfach zu überprüfen, ob das was man rausbekommen hat, wirklich kleiner/größer als das Ergebnis ist, funktioniert oft bei Ungleichungen; und man braucht dazu keine genialen Einfälle, um auf irgendwelche Abschätzungen zu kommen.