Klasse 11 - Differenzialrechnung - Hilfe

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Hallo zusammen!

Ich brauche mal wieder eure Hilfe.Ich sitze gerade an der Vorbereitung auf die nächste Klassenarbeit in Mathematik (Gymnasium Klasse 11) zum Thema Differenzrechnung.

Leider habe ich bei den Übungsaufgaben noch einige Probleme.

Konkret brauche ich Hilfe für die Aufgaben 4,6,7,11 und 12 auf den Bildern.

Bei Aufgabe 4 und 6 fehlt mir der gesamte Ansatz, wie ich vorgehen muss.

Bei Aufgabe 7 habe ich bereits die Tangentengleichung sowie die Normalengleichung bestimmt, aber wie ich dann weiter vorgehen muss ist mir nicht klar.

Bei Aufgabe 11 habe ich bereits die Gleichung der Geraden bestimmt, die weitere Vorgehensweise ist mir dann aber nicht mehr klar.

Bei Aufgabe 12 habe ich bereits die Gleichung der Tangente bestimmt, die weitere Vorgehensweise ist mir dann aber nicht mehr klar.

 

Danke im Voraus

Ferdinand

 

 

gefragt vor 1 Monat
f
 

(12) Folgt eigentlich aus ähnlichen Überlegungen, wie Aufgabe 11. Du hast die Tangente bestimmt, in dem du ja sicherlich über die 1. Ableitung den Anstieg an der entsprechenden Stelle berechnet hast.

Nun gilt es herauszufinden, ob es einen weiteren Punkt gibt, an dem der Wert für den Anstieg gleich ist (vermutlich gibt es einen solchen, weil die Ableitung eine quadratische Funktion ist).

Also für dich zu tun ist: du leitest die Funktion ab, setzt die Ableitung gleich dem Anstieg deiner Tangente und löst die quadratische Gleichung mit Mitternachtsformel/pq-Formel/etc.
Eine der Lösungen sollte x=3 sein und die andere Lösung (sofern es eine gibt), ist die Stelle, an der die Tangente parallel zu deiner Tangente aus der Aufgabe ist.



So das war jetzt allerhand, ich hoffe es gibt dir neue Denkanstöße und du kommst bei deinen Aufgaben weiter.
  -   El_Stefano, verified vor 1 Monat

Ich habe als t(x)= -5x raus. Wenn ich die Funktion x^2-4x+1 ableite dann kommt ja 2x-4 heraus. Wenn ich die beiden nun gleichsetze und auf eine Seite bringe fehlt mir ja x^2 um die p-q-Formel anzuwenden oder nicht? Oder wo liegt mein Fehler?   -   ferdinand.wanzek, vor 1 Monat

Ich glaube du hast jetzt die Funktion aus (11.) verwendet. Die Funktion in (12) ist eine andere und wenn du die ableitest bekommst du die Ableitung: f‘(x) = x² - 4x - 4.

Jetzt nimmst du den Anstieg m deiner Tangente (auch hier nochmal nachrechnen) und setzt wieder

m = x² - 4x - 4

Daraus folgt wiederum:

0 = x² - 4x - 4 - m

Und damit hast du deine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.
  -   El_Stefano, verified vor 1 Monat
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4 Antworten
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Hallo Ferdinand, da scheint ja allerhand zu tun zu sein. Ich gebe dir mal paat Gedankenanstöße und dann kannst du es selber nochmal probieren und bei Fragen dich gern nochmal melden: (4) Gesucht sind Schnittpunkte von 2 Funktionen. Wie bestimmt man Schnittpunkte? - Indem man die Funktionen gleich setzt. Hier in dem Fall sind es 2 quadratische Funktionen. Diese kannst du umstellen, so dass du hast 0 = ... (also eine Funktion auf die andere Seite ziehen). Einen solchen Ausdruck kann man dann mit Mitternachtsformel/pq Formel lösen. Jetzt hast du natürlich den Parameter a enthalten. Behandle a einfach wie eine nicht genauer bestimmte Zahl und setze sie entsprechend in die quadratischen Lösungsgleichungen ein. Am Ende wirst du wahrscheinlich eine Aussage in Abhängigkeit der Wahl von a bekommen, oder eben feststellen, dass es keine Zahl für a gibt, so dass die Funktionen einen Schnittpunkt haben. (6) Anhand der dort beschriebenen Bedingungen für Funktionen und Ableitungen gilt es nun ein Gleichungssystem aufzustellen, mit dem du die Parameter a,b und c in der allgemeinen Darstellung dee quadratischen Funktion ermitteln kannst. Aus f(2) = 3 folgt zum Beispiel die Gleichung 3 = a*2^2 + b*2 + c = 4a + 2b + c Für die Gleichungen, die aus den Ableitungen entstehen musst du zunächst die allgemeine Abbildung bestimmen: f‘(x) = 2ax + b Auch hier kannst durch Einsetzen wieder 2 Gleichungen erhalten. Am Ende hast du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und unbekannten, was du lösen musst (z.B. Gauß Verfahren, Einsetzverfahren)
geantwortet vor 1 Monat
El_Stefano verified
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(7) Hast du dir den Verlauf der Funktion, Tangente und Normale mal skizziert, um einen Überblick über die entsprechende Fläche zu bekommen? Im Endeffekt geht es hierbei um eine Integralrechnung. Du brauchst also noch den Schnittpunkt als Integralgrenze. Habe den genauen Verlauf jetzt nicht vor Augen, aber dadurch dass eine Grenze die y-Achse zu sein scheint, gilt als eine Integrationsgrenze x = 0. Die andere Grenze erhältst du wie gesagt durch den Schnittpunkt der Tangente und Normale. (11) Woraus setzt sich eine Tangente an einer Funktion zusammen? Richtig: durch den Anstieg (erhälst du aus der Ableitung) und dem Schnittpunkt mit der y-Achse. Ein weiteres Schlüsselwort ist Parallelität. Wann sind 2 Gerade parallel? - Wenn sie den gleichen Anstieg haben. Da du ja bereits die Gerade durch die Punkte ermittelt hast, weißt du ja schon den Anstieg der Geraden (die Zahl vor dem x). Diese Zahl setzt du gleich mit der 1. Ableitung der Funktion: Du hast dann sowas wie: m = 2x - 4 und m ist der Anstieg deiner Gerade (musst du einsetzen). Dann erhältst du durch lösen den x-Wert an dem die Tangente den gleichen Anstieg hat, wie deine Gerade. Mit dem Anstieg und dem Punkt musst du dann noch die Tangentengleichung für dein ermitteltes x bestimmen
geantwortet vor 1 Monat
El_Stefano verified
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Als Gleichung der Geraden habe ich -3x + 1 ermittelt. Das abgeleitet wäre ja -2. Doch wenn ich jetzt m(-3) mit der -2 gleichsetze dann habe ich ja kein x mehr zu bestimmen. Was nun?   -   ferdinand.wanzek, vor 1 Monat

Du hast die Gleichung der Gerade richtig aufgestellt.

y = -3x + 1

Der Anstieg der Gerade ist folglich m = -3

Die Ableitung der Funktion hatte ich ja bereits oben schon gerechnet: f‘(x) = 2x - 4

Jetzt setzt du diese beiden Informationen gleich, denn du suchst ja eine (oder mehrere) Tangenten, die den gleichen Anstieg wie deine ermittelte Gerade haben. Also: -3 = 2x - 4

Wenn du das nach x umstellst, erhältst du x = 1/2.

Also an der Stelle x = 1/2 hat die Funktion den Anstieg -3.

Damit kannst du nun die Tangente an der Funktion f(x) an der Stelle x = 1/2 bestimmen.
  -   El_Stefano, verified vor 1 Monat
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Nummer 4: "Die Graphen zweier Funktionen berühren sich in einem Punkt." bedeutet ja "Die beiden Graphen haben einen gemeinsmaen Punkt (Schnittpunkt), in dem die beiden Funktionen die gleiche Steigung haben".

WIr haben \(f(x) = -1{,}5x^2+12x-9\) und \(g(x)= 1{,}5x^2+12x+3a\)

Zunächst überprüfen wir mittels Gleichsetzung des Funktionsterme, ob es Schnittpunkte gibt und an welchen Stellen diese gegebenenfalls in ABhängigkeit von \(a\) liegen.

\(f(x) = g(x)\)

\(-1{,}5x^2+12x-9 = 1{,}5x^2+12x+3a\) 

\(\Leftrightarrow\quad  -9-3a= 3x^2\)

\(\Leftrightarrow\quad  -3-a=x^2\)

\(\Rightarrow x=+\sqrt{-3-a} \quad \vee \quad x=- \sqrt{-3-a}\)

Wir beachten, dass Radikanden nicht negativ sein können:

\(-3-a \geq 0\)

\(-3\geq a\)

Für \(a=-3\) gibt es einen Schnittpunkt mit \(x=\sqrt{-3-(-3)} =0\). Für \(a<-3\) existieren zwei Schnittpunkte.

Nun müssen wir noch untersuchen, obe es Schnittpunkte gibt, bei denen die Grahen die gleiche Steigung besitzen, also die Ableitungen der Funktionen den gleichen Wert annehmen.

\(f'(x) = -3x+12\) bzw. \(g'(x) = 3x+12\)

Hierfür setzen wir mal den Fall eines Schnittpunktes ein, also \(a=-3\) und \(x=0\) und sehen \(f'(0) = 12 = g'(x)\). Also existiert ein Parameterwert \(a\), bei dem sich die beiden Graphen berühren. Eine Untersuchung weiterer Parameterwertw ist nicht mehr notwendig. 

geantwortet vor 1 Monat
bonuama
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Ich glaube du hast jetzt die Funktion aus (11.) verwendet. Die Funktion in (12) ist eine andere und wenn du die ableitest bekommst du die Ableitung: f‘(x) = x² - 4x - 4. Jetzt nimmst du den Anstieg m deiner Tangente (auch hier nochmal nachrechnen) und setzt wieder m = x² - 4x - 4 Daraus folgt wiederum: 0 = x² - 4x - 4 - m Und damit hast du deine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.
geantwortet vor 1 Monat
El_Stefano verified
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