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Hallo zusammen!
Ich brauche mal wieder eure Hilfe.Ich sitze gerade an der Vorbereitung auf die nächste Klassenarbeit in Mathematik (Gymnasium Klasse 11) zum Thema Differenzrechnung.
Leider habe ich bei den Übungsaufgaben noch einige Probleme.
Konkret brauche ich Hilfe für die Aufgaben 4,6,7,11 und 12 auf den Bildern.
Bei Aufgabe 4 und 6 fehlt mir der gesamte Ansatz, wie ich vorgehen muss.
Bei Aufgabe 7 habe ich bereits die Tangentengleichung sowie die Normalengleichung bestimmt, aber wie ich dann weiter vorgehen muss ist mir nicht klar.
Bei Aufgabe 11 habe ich bereits die Gleichung der Geraden bestimmt, die weitere Vorgehensweise ist mir dann aber nicht mehr klar.
Bei Aufgabe 12 habe ich bereits die Gleichung der Tangente bestimmt, die weitere Vorgehensweise ist mir dann aber nicht mehr klar.
Danke im Voraus
Ferdinand
Nummer 4: "Die Graphen zweier Funktionen berühren sich in einem Punkt." bedeutet ja "Die beiden Graphen haben einen gemeinsmaen Punkt (Schnittpunkt), in dem die beiden Funktionen die gleiche Steigung haben".
WIr haben \(f(x) = -1{,}5x^2+12x-9\) und \(g(x)= 1{,}5x^2+12x+3a\)
Zunächst überprüfen wir mittels Gleichsetzung des Funktionsterme, ob es Schnittpunkte gibt und an welchen Stellen diese gegebenenfalls in ABhängigkeit von \(a\) liegen.
\(f(x) = g(x)\)
\(-1{,}5x^2+12x-9 = 1{,}5x^2+12x+3a\)
\(\Leftrightarrow\quad -9-3a= 3x^2\)
\(\Leftrightarrow\quad -3-a=x^2\)
\(\Rightarrow x=+\sqrt{-3-a} \quad \vee \quad x=- \sqrt{-3-a}\)
Wir beachten, dass Radikanden nicht negativ sein können:
\(-3-a \geq 0\)
\(-3\geq a\)
Für \(a=-3\) gibt es einen Schnittpunkt mit \(x=\sqrt{-3-(-3)} =0\). Für \(a<-3\) existieren zwei Schnittpunkte.
Nun müssen wir noch untersuchen, obe es Schnittpunkte gibt, bei denen die Grahen die gleiche Steigung besitzen, also die Ableitungen der Funktionen den gleichen Wert annehmen.
\(f'(x) = -3x+12\) bzw. \(g'(x) = 3x+12\)
Hierfür setzen wir mal den Fall eines Schnittpunktes ein, also \(a=-3\) und \(x=0\) und sehen \(f'(0) = 12 = g'(x)\). Also existiert ein Parameterwert \(a\), bei dem sich die beiden Graphen berühren. Eine Untersuchung weiterer Parameterwertw ist nicht mehr notwendig.
Nun gilt es herauszufinden, ob es einen weiteren Punkt gibt, an dem der Wert für den Anstieg gleich ist (vermutlich gibt es einen solchen, weil die Ableitung eine quadratische Funktion ist).
Also für dich zu tun ist: du leitest die Funktion ab, setzt die Ableitung gleich dem Anstieg deiner Tangente und löst die quadratische Gleichung mit Mitternachtsformel/pq-Formel/etc.
Eine der Lösungen sollte x=3 sein und die andere Lösung (sofern es eine gibt), ist die Stelle, an der die Tangente parallel zu deiner Tangente aus der Aufgabe ist.
So das war jetzt allerhand, ich hoffe es gibt dir neue Denkanstöße und du kommst bei deinen Aufgaben weiter. ─ el_stefano 08.03.2020 um 12:49