Beweis durch vollständige Induktion

Aufrufe: 737     Aktiv: 09.03.2020 um 00:05
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Folgende Aufgabe beschäftigt mich:

Für alle \( n \ge 2 \) soll gelten:

\(1 + \frac {1} {\sqrt {2}} + \frac {1} {\sqrt{3}} +.... + \frac {1} {\sqrt {n}}   > \sqrt {n}\)

Für den Induktionsanfang habe ich:

Sei n = 2

\( 1 + \frac {1} {\sqrt {2}} > \sqrt {2} \)

und nach Multiplikation mit \( \sqrt {2} \) die Aussage 2,41 > 2

Beim Induktionsschritt \( n \to n+1 \)

\( 1+ ... + \frac {1} {\sqrt {n}} + \frac {1} {\sqrt {n+1}} > \sqrt {n+1}\)

nach Multiplikation mit \( \sqrt {n+1}\) auf beiden Seiten und ausklammern erhalte ich

\( \sqrt {n+1}* (1+ ... + \frac {1} {\sqrt {n}} )  +1 > n+1 \)

Wie kann ich jetzt die Induktionsvoraussetzung anwenden bzw. schließen, dass die Aussage stimmt ? Bin mir generell auch nicht sicher ob das alles so korrekt ist, freue mich auf jegliche Kommentare und Anregungen

 

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Bis jetzt sieht alles ganz gut aus, ich muss nur im Induktionsschritt ein klein bisschen meckern: Du hast geschrieben "die Aussage 2,41>2". Eigentlich hast du \(1+\sqrt 2>2\) dastehen und \(1+\sqrt 2\approx2,41.\) Schöner (und ohne die Notwendigkeit zu wissen, was \(\sqrt2\) überhaupt ist) wäre \(1+\sqrt2\overset{\sqrt2>1}{>}1+1=2.\) Aber das sind Feinheiten, wenn man pingelig sein will.

Aber jetzt zu deinem eigentlichen Problem: Im letzten Schritt in der Klammer steht ja schon genau der Ausdruck aus der Induktionsvoraussetzung, diesen kannst du also durch \(\sqrt n\) ersetzen. Es folgt also

\(\sqrt{ n+1}\left(1+\ldots+\frac1{\sqrt n}\right)+1\overset{\text{IV}}{>}\sqrt{n+1}\sqrt n+1>\sqrt n\sqrt n+1=n+1,\) was zu zeigen war.

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