Mengenbeweis

Aufrufe: 875     Aktiv: 09.03.2020 um 20:05
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Hallo, 

hab folgende Definition: \( (M \Delta N) = (M \cup N) \setminus (M \cap N) \)

Ich soll beweisen, dass \( (M \Delta N) \Delta O = M \Delta (N \Delta O) \) ist

Hab hier aber schon Probleme \( M\) und \( N\) richtig mit \(O\) zu verknüpfen.

Mein Ansatz für  \( (M \Delta N) \Delta O\) = \((M \cup N) \cup ((M \cup N) \cup O) \setminus ((M \cap N) \cap O))                     \)

Bezweifel aber, dass das stimmt...

 

 

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Student, Punkte: 96

 
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Am einfachsten ist wohl eine Tabelle:

\(\begin{array}{c|c|c|c|c}x\in M&x\in N&x\in O&x\in (M\Delta N)\Delta O&x\in M\Delta(N\Delta O)\\\hline \checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark\\\checkmark&\checkmark&X&X&X\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\X&X&\checkmark&\checkmark&\checkmark\\X&X&X&X&X\end{array}\)

Du wirst feststellen, dass die letzten zwei Spalten immer übereinstimmen.

Wenn du einen formalen Beweis willst, so wie du angefangen hast, benutze \(x\in M\Delta N\Longleftrightarrow (x\in M \land x\notin N) \lor (x\in N\land x\notin M)\) und ziehe das einfach konsequent durch.

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Student, Punkte: 5.33K

 
Die Gleichung \( M \Delta N = N \Delta M => (M \cup N) \setminus (M \cap N) = (N \cup M ) \setminus (N \cap M) \) hab ich schon formal bewiesen.

\( \forall x: x \in (M \Delta N) <=> x \in (N \Delta M) \)

\(x \in (M \Delta N) <=> (x \in M \lor x \in N \land \lnot(x \in M \land x \in N)) \)

\( <=> (x \in N \lor x \in M \land \lnot (x \in N \land x \in M))\)

\( <=> x \in (N \Delta M) \)

Das hab ich eben nur geschafft, weil ich \( M \Delta N = N \Delta M => (M \cup N) \setminus (M \cap N) = (N \cup M ) \setminus (N \cap M) \) so definiert habe.

Diese Definition fehlt mir eben bei \( (M \Delta N) \Delta O = M \Delta (N \Delta O) \)

Oder kann man das auch formal beweisen, ohne die genaue Definition zu kennen?

  ─   mathematikmachtspaß 09.03.2020 um 14:20
Das geht ganz genauso, ist bloß ein bisschen länger (ab und zu ein paar Schritte auf einmal, weil ich hier sonst ewig sitze): \(x\in (M\Delta N)\Delta O\\\Longleftrightarrow (x\in M\Delta N\ \land\ x\notin O)\ \lor\ (x\in O\ \land\ x\notin M\Delta N)\\\Longleftrightarrow (((x\in M\ \land\ x\notin N)\ \lor\ (x\in N\ \land\ x\notin M))\ \land x\notin O)\ \lor\ (x\in O\ \land\ ((x\in M\ \land\ x\in N )\ \lor\ (x\notin M\ \land\ x\notin N)) \\\Longleftrightarrow(x\in M\land x\notin N\land x\notin O)\lor(x\notin M\land x\in N\land x\notin O)\lor(x\notin M\land x\notin N\land x\in O)\lor(x\in M\land x\in N\land x\in O)\\\Longleftrightarrow(((x\in N\land x\notin O)\lor(x\notin N\land x\in O))\land x\notin M)\lor(x\in M\land((x\in N\land x\in O)\lor(x\notin N\land x\notin O))\\\Longleftrightarrow (x\in N\Delta O\land x\notin M)\lor(x\in M\land x\notin N\Delta O)\\\Longleftrightarrow x\in M\Delta(N\Delta O)\)    ─   sterecht 09.03.2020 um 14:47
Danke, aber könntest du einmal die Formel \( (M \Delta N) \Delta O \) ganz definieren, ich versteh sonst die einzelnen Schritte nicht..   ─   mathematikmachtspaß 09.03.2020 um 15:11
Die Definition hast du ja selbst angegeben, wir müssen sie hier nur zweimal hintereinander anwenden. Zuerst lösen wir das äußere \(\Delta\) auf:
\((M\Delta N)\Delta O=((M\Delta N)\cup O)\backslash ((M\Delta N)\cap O)\). Jetzt ersetzt du noch jedes \(M\Delta N\) mit der Definition.   ─   sterecht 09.03.2020 um 15:16
Also so:

\((M \Delta N) \Delta O = (((M \cup N) \setminus (M \cap N) \cup O) \setminus ((M \cup N) \setminus (M \cap N) \cap O))\)
?   ─   mathematikmachtspaß 09.03.2020 um 15:27
Ja genau.   ─   sterecht 09.03.2020 um 15:31
Endlich hab ichs verstanden, vielen Dank!   ─   mathematikmachtspaß 09.03.2020 um 15:32
Hätte doch noch eine Frage zur Tabelle: Was muss wahr sein, damit \(x \in (M \Delta N) \Delta O \) wahr ist?

\((M \Delta N) \Delta O = ((M \cup N) \setminus (M \cap N) \cup O) \setminus (M \cup N) \setminus (M \cap N) \cap O)) \)   ─   mathematikmachtspaß 09.03.2020 um 17:53
Du gehst einfach jeden Fall durch und schaust, ob x dann in der Menge liegt. Zum Beispiel für \(x\in M,O,x\notin N\) ist \(x\in M\Delta N\) und damit sowohl in \(M\Delta N \cup O\) als auch \(M\Delta N\cap O\), und damit nicht in der Differenz. Folglich liegt x in diesem Fall nicht in \((M\Delta N)\Delta O\)
Wenn man das für alle Möglichkeiten macht, stellt man fest, dass x genau in der symmetrischen Differenz der drei Mengen liegt, wenn es in genau einer oder in allen drei Mengen liegt.   ─   sterecht 09.03.2020 um 18:07
Ok, jetzt hab ich die Tabelle auch verstanden, Danke!   ─   mathematikmachtspaß 09.03.2020 um 20:05

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