Hallo,

wir beschränken uns auf das Intervall \( 0 \leq x,y \leq 2 \pi \). In diesem haben wir dann auch endlich viele kritische Punkte.

Wir erhalten das GS

$$ \begin{array}{ccc} \cos(x) + \cos(x+y) & = & 0 \\ \cos(y) + \cos(x+y) & = & 0 \end{array} $$

Das GS können wir umformen. Wir formen beide Gleichungen nach \( \cos(x+y) \) um und erhalten als neue Gleichung

$$ \begin{array}{ccc} \cos(x) & = & \cos(y) \\ \cos(x) + \cos(x+y) & = & 0 \end{array} $$

Da der Kosinus Achsensymmetrisch ist, erhalten wir zwei Fälle aus der ersten Gleichung

$$ x = -y + 2\pi k $$

und

$$ x = y + 2\pi k $$

Nun setzen wir diese beiden Fälle in die zweite Gleichung ein. Aus dem ersten erhalten wir

$$ \cos(x) + \cos(-y+y) = \cos(x) + \cos(0) = \cos(x) + 1 = 0 $$

Diese Gleichung wir gelöst durch

$$ x = \pi + 2\pi k $$

Da \( x=-y \) gilt, erhalten wir

$$ E(\pi | - \pi) $$

da wir uns aber in dem Intervall \( 0 \leq x,y \leq 2\pi \) suchen, verschieben wir den \(y\)-Wert um \(2\pi \) und erhalten

$$ E_1(\pi | \pi) $$

als ersten Extrempunkt. 

Wir gucken uns den zweiten Fall an

$$ x=y $$

und erhalten eingesetzt in die zweite Gleichung

$$ \cos(x) + \cos(2x) = 0 $$

Mit Hilfe der Additionstheoreme erhalten wir

$$ 2\cos^2(\frac x 2)(2\cos(x)-1) =0 $$

Daraus erhalten wir die Fälle

$$ \begin{array}{ccc} x & = & \pi + 2\pi k \\ x & = & \frac 13 (6\pi k + \pi) \\ x & = & \frac 1 3 (6 \pi k - \pi ) \end{array} $$

Den ersten Fall haben wir schon. Da \( x=y \) gilt, erhalten wir aus den anderen beiden Fällen die Lösungen (mit den richtigen \( k \) um im entsprechenden Intervall zu landen) 

$$ E_2 (\frac \pi 3 | \frac \pi 3) $$

und

$$ E_3 ( \frac 5 3 \pi | \frac 5 3 \pi ) $$

Grüße Christian