Teilbarkeit ggT

Aufrufe: 664     Aktiv: 09.03.2020 um 16:51
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Hallo,

ist mein Ansatz hier richtig?
Die Frage lautet: Weisen sie allgemein nach, dass für beliebige a,b mit ggT(a,b)=3 gilt, dass ggT(a/3, b/3)=1

Wenn ich annehme dass 3|a/3 dann -> 9|a
Wenn ich annehme dass 3|b/3 dann -> 9|b

Das wäre somit ein Widerspruch zu ggT(a,b)=3  somit kann der ggT(a/3, b/3) nur 1 sein?

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Student, Punkte: 65

 
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1 Antwort
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Genau deinw Argumentation scheint richtig zu sein. Was im Endeffekt dahinter steckt ist, sind die Primfaktoren von a und b. Du hast es jetzt über den Widerspruch gemacht (was völlig okay ist), ein direkter Ansatz wäre zu sagen, dann eben in a und b die 3 als Primfaktor drin steckt (auch nur in einfach, denn bei 3² wäre sonst die 9 der ggT) Demzufolge fällt die 3 als Primfaktor aus a und b heraus, wenn man diese Zahlen durch 3 dividiert.
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M.Sc., Punkte: 6.68K

 
Es kann sogar in einer der beiden Zahlen die 3 als vielfacher Primfaktor auftauchen, solange er eben in einer der beiden Zahlen einfach auftaucht, fällt diese eben bei Division weg und der ggT wird 1.

2 kann es auch nicht sein, da wenn 2 und 3 Primfaktoren in beiden Zahlen wären, dann 6 der ggT wäre.   ─   el_stefano 09.03.2020 um 15:21
Danke für deine Antwort aber was genau meinst du mit "einfach auftaucht"?   ─   larper 09.03.2020 um 16:32
Naja beispielsweise die Primfaktorzerlegung der 18 ist 2x3x3 und demzufolge kommt die 3 doppelt in der Zerlegung vor, während die 2 nur einfach vorkommt.   ─   el_stefano 09.03.2020 um 16:34
alles klar danke!   ─   larper 09.03.2020 um 16:51

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