Hallo Laura, ich probiere es mal: Du suchst eine lineare Abbildung, so dass f : v_1 = v_1 Und f : v_2 = v_2 Eine allgemeine lineare Abbildung f: R² -> R² sieht wie folgt aus: f (x,y) = ( ax + by ; cx + dy) Nun kannst du nit deinen 2 Bedingungen die an deine lineare Abbildung geknüpft sind die Werte von a, b, c und d bestimmen. Setze dafür x und y deiner Vektoren v_1 und v_2 geeignet ein und köse die entsprechenden Gleichungssysteme. Wenn du die Abbildung bestimmt hast, kann du dir deine 2 Basen (einmal die gegeben und einmal die Standardbasis) hernehmen, bildest die Basisvektoren damit ab und nimmst das als Abbildungsmatrix her.

Die Matrix bezüglich \(V\) ist keine große Kunst: \(v_1\overset f\mapsto1\cdot v_1+0\cdot v_2,\ v_2\overset f\mapsto0 v_1+2v_2.\) Diese Koeffizienten bilden die Spalten der Matrix, also \(A_{f,V}=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}.\)

Bezüglich der Standardbasis gibt es zwei Wege. Der eine ist, herauszufinden, wohin \(\binom10\) und \(\binom01\) abgebildet werden. Es gilt \(f(\binom10)=f(3v_1-v_2)=3f(v_1)-f(v_2)=3\binom11-\binom46=\binom{-1}{-3}\) und \(f(\binom01)=f(v_2-2v_1)=f(v_2)-2f(v_1)=\binom46-2\binom11=\binom24\). Die Matrix besteht wieder aus den Ergebnissen als Spaltenvektoren, also \(A_{f,\mathbb E_2}=\begin{pmatrix}-1&2\\-3&4\end{pmatrix}.\)

Der andere Weg wäre Basiswechsel, dieser besagt 

\(A_{f,\mathbb E_2}=\begin{pmatrix}v_1&v_2\end{pmatrix}A_{f,V}\begin{pmatrix}v_1&v_2\end{pmatrix}^{-1}.\)