Dein Weg sieht auch gut aus. Die erste Wurzel ist größer als \(n\), die zweite Wurzel ist größer als \(1\), das heißt alles zusammen ist größer als \(n+1+\sqrt{n+1}\).
Der andere Ansatz ist (bis auf ein paar fehlende Klammern) ebenfalls korrekt. Es gilt ja \(n\sqrt{n+1}>n\sqrt n>n+\sqrt n\), wobei im ersten Schritt die Monotonie der Wurzel und im zweiten Schritt die Induktionsvoraussetzung benutzt wurde.
Ich hoffe, das klärt alle Probleme, ansonsten frag gern nochmal nach.
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