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Wir nehmen von beiden Seiten den Logarithmus zur Basis 2.
\(\log_2\left(\frac{2^{\frac xa}}{4^{\frac x b}}\right)=\log_2\left(8^{-(a+b)}\right)\\ \log_2(2^{\frac xa})-\log_2(4^{\frac xa})=\log_2(8^{-(a+b)})\\\frac xa\log_22-\frac xb\log_24=-(a+b)\log_28\\\frac xa-\frac{2x}b=-3(a+b)\\(\frac1a-\frac2b)x=-3(a+b)\\x=\frac{-3(a+b)}{\frac1a-\frac2b}=\frac{-3ab(a+b)}{b-2a}\).
Dabei haben wir im ersten Schritt \(\log_b(\frac xy)=\log_bx-\log_by\), im zweiten \(\log_bx^y=y\log_bx\) verwendet und danach nur noch die lineare Gleichung umgeformt.
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sterecht
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Ich dachte eigentlich mehr an die Herleitung der Gleichung.
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thomas1234
11.03.2020 um 21:33
Ich fürchte, die Gleichung ist so falsch. Da ich eben gezeigt habe, dass es für jedes \(a\) und \(b\) höchstens ein \(x\) gibt, das die Gleichung erfüllt, kann sie nie für alle \(x\) gelten. Davon kannst du dich auch selbst überzeugen, indem du ein paar einfache Werte einsetzt, z.B. \(x=a=b=1\). Es kann auch sein, dass ich dich komplett falsch verstehe, dann beschreibe bitte nochmal genau, was du willst.
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sterecht
11.03.2020 um 21:56